Distance entre deux droites

La distance entre deux droites correspond à la plus petite distance que l'on puisse mesurer entre un point de la première droite et un point de la seconde. $$ d(r_1, r_2) := \min(P_{r1}, P_{r2}) $$

Lorsque les deux droites sont parallèles, le calcul de cette distance est particulièrement simple. Il suffit de choisir un point P(x₀; y₀) situé sur l'une des droites et de calculer sa distance à l'autre droite, d'équation $ ax+by+c=0 $ :

$$ d = \frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} $$

Si les droites parallèles sont écrites sous la forme $ y=mx+q_1 $ et $ y=mx+q_2 $, avec la même pente m, on peut également utiliser la formule suivante, souvent plus directe :

$$ d = \frac{|q_2-q_1|}{\sqrt{1+m^2}} $$

Selon la valeur de cette distance minimale, plusieurs situations peuvent se présenter :

• Distance nulle. Si la distance minimale est nulle, les droites sont soit confondues lorsqu'elles sont linéairement dépendantes, soit sécantes lorsqu'elles sont linéairement indépendantes.
• Distance finie. Si la distance minimale est strictement positive et finie, les droites sont parallèles.

Le schéma ci-dessous résume visuellement ces différentes configurations.

Comment calculer la distance entre deux droites

Avant tout calcul, il est essentiel de déterminer la position relative des deux droites. Pour cela, on étudie la dépendance linéaire de leurs vecteurs directeurs, ce qui permet de savoir si les droites sont parallèles, confondues ou sécantes.

1] Droites linéairement dépendantes

Lorsque les vecteurs directeurs sont linéairement dépendants, les droites ont la même direction. Elles peuvent donc être parallèles ou confondues.

Comment faire la distinction ?

On choisit un point sur l'une des droites et on calcule sa distance à l'autre droite.

• Parallèles ( d > 0 ). Si la distance obtenue est strictement positive, les droites sont parallèles.
• Confondues ( d = 0 ). Si la distance est nulle, les droites sont confondues.

2] Droites linéairement indépendantes

Si les vecteurs directeurs sont linéairement indépendants, les droites se coupent nécessairement.

Elles possèdent alors un unique point commun, appelé point d'intersection.

Dans cette situation, la distance minimale entre les deux droites est égale à zéro.

Exemples d'application

Exemple 1

Considérons les deux droites suivantes :

$$ r_1: 5x+3y-6=0 $$

$$ r_2: -4x+4y-8=0 $$

On commence par vérifier si ces droites sont linéairement indépendantes.

On associe à chaque droite son vecteur normal :

$$ n_1 = \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix} $$

$$ n_2 = \begin{pmatrix} -4 \\ 4 \end{pmatrix} $$

Remarque. La dépendance linéaire peut être étudiée aussi bien à l'aide des vecteurs normaux que des vecteurs directeurs. Ces deux types de vecteurs étant orthogonaux entre eux, l'indépendance linéaire des uns équivaut à celle des autres.

On calcule ensuite le déterminant de la matrice formée par ces vecteurs :

$$ \det \begin{pmatrix} 5 & -4 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = 20 + 12 = 32 $$

Le déterminant étant non nul, les vecteurs sont linéairement indépendants.

On en déduit que les deux droites sont sécantes et que la distance minimale entre elles est nulle.

Remarque. Le point d'intersection peut être déterminé en résolvant le système formé par les deux équations : $$ \begin{cases} 5x+3y-6=0 \\ -4x+4y-8=0 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x=\frac{6-3y}{5} \\ -4\left(\frac{6-3y}{5}\right)+4y-8=0 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x=\frac{6-3y}{5} \\ y=2 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x=\frac{6-3(2)}{5} \\ y=2 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x=0 \\ y=2 \end{cases} $$

Exemple 2

Considérons maintenant les droites :

$$ r_1: 5x+3y-6=0 $$

$$ r_2: 15x+9y-3=0 $$

On étudie d'abord la dépendance linéaire de ces deux droites.

On associe à chacune son vecteur normal :

$$ n_1 = \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix} $$

$$ n_2 = \begin{pmatrix} 15 \\ 9 \end{pmatrix} $$

On calcule ensuite le déterminant correspondant :

$$ \det \begin{pmatrix} 5 & 15 \\ 3 & 9 \end{pmatrix} = 45 - 45 = 0 $$

Le déterminant étant nul, les vecteurs sont linéairement dépendants.

Les deux droites sont donc parallèles ou confondues.

Comment trancher entre ces deux cas ?

On choisit un point quelconque sur la droite r₁.

Par exemple :

$$ P = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix} $$

On calcule alors la distance entre le point P et la droite r₂.

$$ D(P(x_0,y_0),r_2) = \frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} $$

$$ D(P(0,2),r_2) = \frac{|15x+9y-3|}{\sqrt{15^2+9^2}} $$

$$ D(P(0,2),r_2) = \frac{|15(0)+9(2)-3|}{\sqrt{225+81}} $$

$$ D(P(0,2),r_2) = \frac{|15|}{\sqrt{306}} = 0.86 $$

La distance calculée est strictement positive.

On conclut donc que les deux droites sont parallèles.

Remarque. Si la distance avait été nulle, les deux droites auraient été confondues.