Faisceau de droites concourantes

Un faisceau de droites concourantes désigne l'ensemble de toutes les droites qui passent par un même point (A) du plan. Ce point commun est appelé centre du faisceau.

En géométrie analytique, un faisceau de centre \((x_0, y_0)\) se décrit à l'aide de l'équation :

$$ y - y_0 = m \cdot (x - x_0) $$

Cette écriture représente toutes les droites passant par le point \( (x_0, y_0) \), lorsque la pente \( m \in \mathbb{R} \) varie.

Une exception doit toutefois être signalée. La droite parallèle à l'axe des y, dite verticale, ne peut pas être exprimée sous la forme \( y = mx + q \), car sa pente n'est pas définie.

Remarque. La droite verticale passant par le centre du faisceau s'écrit simplement : $$ x = x_0 $$

On peut donc résumer la définition d'un faisceau de droites concourantes centré en P par le système :

$$
\begin{cases}
y - y_0 = m \cdot (x - x_0) & \text{si la droite n'est pas parallèle à l'axe des y} \\
x = x_0 & \text{si la droite est parallèle à l'axe des y}
\end{cases}
$$

L'ensemble de toutes ces droites constitue le faisceau complet.

Une autre paramétrisation consiste à écrire : $$ y - y_0 = -\frac{h}{k} \cdot (x - x_0) $$ où \( h,k \in \mathbb{Z} \) et \( k \ne 0 \).

Exemple pratique

Prenons comme centre le point P(2,3).

Les équations du faisceau deviennent :

$$
\begin{cases}
y - 3 = m \cdot (x - 2) \\
x = 2
\end{cases}
$$

L'équation \( y - 3 = m(x - 2) \) décrit toutes les droites obliques passant par \( (2,3) \), chacune correspondant à une valeur particulière de \( m \).

L'équation \( x = 2 \) représente quant à elle la droite verticale passant par le même point.

Ci-dessous, quelques droites appartenant au faisceau complet.

Exemple 2

Considérons le point :

$$ C = \begin{pmatrix} x_0 = 2 \\ y_0 = 3 \end{pmatrix} $$

Une droite du faisceau peut être écrite :

$$ y - y_0 = -\frac{h}{k} \cdot (x - x_0) $$

avec \( h,k \in \mathbb{Z} \) et \( k \ne 0 \), condition nécessaire pour éviter la division par zéro.

$$ y - 3 = -\frac{h}{k} \cdot (x - 2) $$

En isolant \( y \), on obtient l'équation explicite de la droite :

$$ y = -\frac{h}{k} \cdot (x - 2) + 3 $$

Chaque rapport \( h/k \) définit une pente, donc une droite distincte du faisceau.

La droite verticale reste décrite séparément par : $$ x = 2 $$

Démonstration

Soit P(x₀, y₀) le centre du faisceau.

Toute droite du faisceau passe par ce point et peut s'écrire :

$$ y = m x + q $$

Comme la droite passe par P :

$$ y_0 = m x_0 + q $$

On isole \( q \) :

$$ q = y_0 - m x_0 $$

On remplace dans l'équation générale :

$$ y = m x + q $$

$$ y = m x + (y_0 - m x_0) $$

$$ y = m x + y_0 - m x_0 $$

On regroupe :

$$ y - y_0 = m x - m x_0 $$

$$ y - y_0 = m (x - x_0) $$

On retrouve ainsi l'équation caractéristique d'un faisceau de droites concourantes.

Remarque. Cette équation ne couvre pas le cas de la droite verticale, qui doit être écrite séparément : \( x = x_0 \).

Démonstration alternative

À partir de la forme cartésienne :

$$ h(x - x_0) + k(y - y_0) = 0 $$

avec \( h \) et \( k \) réels, on divise par \( k \) :

$$ \frac{h(x - x_0)}{k} + y - y_0 = 0 $$

On réordonne :

$$ y - y_0 = -\frac{h}{k} \cdot (x - x_0) $$

Le rapport \( -h/k \) correspond à la pente \( m \).

On obtient donc :

$$ y - y_0 = m \cdot (x - x_0) $$

Remarque. Si la droite est parallèle à l'axe des y, la pente n'est pas définie et l'équation devient : \( x - x_0 = 0 \).

Comment générer les droites d'un faisceau

Un faisceau de droites concourantes peut être construit à partir de deux droites distinctes et sécantes \( r \) et \( s \). Ces deux droites sont appelées droites génératrices, car toutes les autres droites du faisceau en dérivent.

$$ ax + by + c = 0 $$

$$ a'x + b'y + c' = 0 $$

Le principe est simple. Toute droite du faisceau s'obtient en combinant linéairement les équations de \( r \) et \( s \) :

$$ p(ax + by + c) + q(a'x + b'y + c') = 0 $$

où \( p \) et \( q \) sont des scalaires réels, non simultanément nuls.

Si \( p \neq 0 \), on peut diviser toute l'équation par \( p \) afin d'introduire un paramètre unique :

$$ \require{cancel} \frac{\cancel{p}(ax + by + c)}{\cancel{p}} + \frac{q(a'x + b'y + c')}{p} = 0 $$

$$ ax + by + c + \frac{q}{p}(a'x + b'y + c') = 0 $$

En posant $ k = \frac{q}{p} $, on obtient l'écriture usuelle du faisceau :

$$ ax + by + c + k(a'x + b'y + c') = 0 $$

Le paramètre réel \( k \) permet de parcourir toutes les droites du faisceau. Chaque valeur de \( k \) correspond à une droite différente.

Cette forme représente toutes les droites du faisceau, sauf la droite \( s \), qui apparaît formellement lorsque \( k \to \infty \).

Remarque. Pour \( k = 0 \), on retrouve la droite \( r \). La droite \( s \) n'est pas obtenue pour une valeur finie de \( k \). Pour l'écrire exactement, il faut revenir à la combinaison linéaire initiale et poser \( p = 0 \), \( q = 1 \).

Choisir les droites génératrices d'un faisceau centré en P(x₀, y₀)

Toute paire de droites sécantes passant par \( P(x_0, y_0) \) peut être utilisée.

Dans la pratique, on choisit souvent deux droites parallèles aux axes cartésiens :

$$ y = y_0 $$

$$ x = x_0 $$

Sous forme implicite :

$$ y - y_0 = 0 $$

$$ x - x_0 = 0 $$

L'équation du faisceau devient alors :

$$ p(y - y_0) + q(x - x_0) = 0 $$

Si \( p \neq 0 \) :

$$ (y - y_0) + \frac{q}{p}(x - x_0) = 0 $$

Remarque. Cette expression est équivalente à l'équation de la droite passant par un point, avec la pente \( m = -\frac{q}{p} \) : $$ y = m(x - x_0) + y_0 $$

Quelle droite du faisceau passe par l'origine ?

Partons de l'équation générale :

$$ (ax + by + c) + k(a'x + b'y + c') = 0 $$

Pour imposer le passage par l'origine \( O(0,0) \), on remplace \( x = 0 \), \( y = 0 \) :

$$ c + k c' = 0 $$

On obtient :

$$ k = -\frac{c}{c'} $$

Cette valeur est définie si \( c' \neq 0 \).

Remarque. Si \( c' = 0 \) et \( c \neq 0 \), aucune droite du faisceau ne passe par l'origine. Si \( c = 0 \) et \( c' = 0 \), toutes les droites du faisceau passent par l'origine.

Exemple

Considérons les droites :

$$ r:\ 2x + 3y + 4 = 0 $$

$$ s:\ x - 2y + 1 = 0 $$

Ces deux droites étant sécantes, elles définissent un faisceau.

Équation du faisceau :

$$ (2x + 3y + 4) + k(x - 2y + 1) = 0 $$

Développement :

$$ (2 + k)x + (3 - 2k)y + (4 + k) = 0 $$

Lorsque \( k \) varie, on obtient toutes les droites du faisceau, sauf \( s \).

Droite du faisceau passant par l'origine

Imposons \( x = 0 \), \( y = 0 \) :

$$ 4 + k = 0 $$

$$ k = -4 $$

Substitution :

$$ -2x + 11y = 0 $$

$$ y = \frac{2}{11}x $$

Il s'agit de la droite du faisceau qui passe par l'origine.

Exemple 2

Construisons un faisceau centré en \( P(2,3) \).

$$ P(2,3) $$

Choisissons comme génératrices :

1. La droite parallèle à l'axe des x : \( y = 3 \).
2. La droite parallèle à l'axe des y : \( x = 2 \).

Équation du faisceau :

$$ (y - 3) + k(x - 2) = 0 $$

$$ y = -k(x - 2) + 3 $$

$$ y = -kx + 2k + 3 $$

En faisant varier \( k \), on génère une infinité de droites, toutes passant par \( P(2,3) \).