Représentation d’une droite à l’aide d’un vecteur

Un vecteur géométrique indique une direction. Toute droite parallèle à ce vecteur possède exactement la même orientation.

Pour décrire une droite dans le plan, deux éléments suffisent :

• un vecteur géométrique non nul v_r, appelé vecteur directeur, qui fixe la direction de la droite : $$ v_r = \begin{pmatrix} l \\ m \end{pmatrix} $$

  Les réels l et m sont les paramètres directeurs.

• un point P₀ appartenant à la droite : $$ P_0 = \begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix} $$

  Exemple
  

Un point P appartient à la droite s'il existe un réel α tel que

$$ OP = OP_0 + α v_r $$

Cette relation exprime que le vecteur OP s'obtient en partant de OP₀ puis en se déplaçant dans la direction de v_r.

Exemple

Vérifions si le point P₁ de coordonnées (-5, -3) appartient à la droite.

Le point P₁ appartient à la droite si

$$ OP_1 = OP_0 + α v_r $$

$$ \begin{pmatrix} -5 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix} + α \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \end{pmatrix} $$

On résout le système :

$$ \begin{cases} -5 = 2 + 5\alpha \\ -3 = 4 + 5\alpha \end{cases} = \begin{cases} \alpha = - \frac{7}{5} \\ \alpha = - \frac{7}{5} \end{cases} $$

On trouve α = -7/5.

Vérification :

$$ \begin{pmatrix} -5 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix} + α \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \end{pmatrix} $$

$$ \begin{pmatrix} -5 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5\alpha \\ 5\alpha \end{pmatrix} $$

$$ \begin{pmatrix} -5 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 \cdot \left( - \frac{7}{5} \right) \\ 5 \cdot \left( - \frac{7}{5} \right) \end{pmatrix} $$

$$ \begin{pmatrix} -5 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -7 \\ -7 \end{pmatrix} $$

$$ \begin{pmatrix} -5 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 - 7 \\ 4 - 7 \end{pmatrix} $$

$$ \begin{pmatrix} -5 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ -3 \end{pmatrix} $$

Le point appartient donc bien à la droite.

De manière générale :

Les coordonnées de tout point de la droite vérifient l'équation vectorielle : $$ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix} + \alpha \begin{pmatrix} l \\ m \end{pmatrix} $$ Cette écriture est équivalente aux équations paramétriques : $$ \begin{cases} x = x_0 + \alpha \, l \\ y = y_0 + \alpha \, m \end{cases} $$

Une droite possède une infinité de représentations vectorielles ou paramétriques. Il suffit de multiplier le vecteur directeur par une constante non nulle pour obtenir une forme équivalente.

Équation cartésienne

Le vecteur P₀P₁ est colinéaire au vecteur directeur v_r.

Deux vecteurs sont colinéaires si, et seulement si, le déterminant formé par leurs composantes est nul :

$$ det \begin{pmatrix} x - x_0 & l \\ y - y_0 & m \end{pmatrix} = 0 $$

En développant le déterminant, on obtient :

$$ m ( x - x_0 ) - l ( y - y_0 ) = 0 $$

C'est l'équation cartésienne de la droite.

Cette équation n'est pas unique. Toute équation proportionnelle décrit la même droite.