Forme point-pente de l’équation d’une droite
Pour déterminer l'équation d'une droite dans le plan, il suffit souvent de connaître un point par lequel elle passe et sa pente. Dans ce cas, on utilise la forme point-pente : $$ y - y_1 = m(x - x_1) $$ Ce qui peut aussi s'écrire : $$ y = m \cdot (x - x_1) + y_1 $$ Ici, P(x1, y1) est un point connu de la droite, m est sa pente, et (x, y) désigne un point quelconque appartenant à cette droite.
Cette écriture est particulièrement pratique car elle permet de construire immédiatement l'équation d'une droite à partir de deux informations simples.
Comprendre la pente
La pente, notée m, mesure l'inclinaison de la droite par rapport à l'axe des abscisses. Elle correspond au rapport entre la variation verticale et la variation horizontale :
$$ m = \frac{y - y_1}{x - x_1} $$
Autrement dit, lorsque x augmente d'une certaine quantité, la pente indique de combien y varie. Une pente positive signifie que la droite monte vers la droite. Une pente négative indique qu'elle descend.
Dans les formules précédentes, m est le coefficient directeur de la droite, (x1, y1) est un point fixe, et (x, y) représente n'importe quel point de la droite.
Remarque. La forme $ y - y_1 = m(x - x_1) $ est celle que l'on rencontre le plus souvent dans les manuels. La forme développée $ y = m \cdot (x - x_1) + y_1 $ en est simplement une réécriture plus explicite.
Exemple détaillé
Prenons le point (1, 3) et la pente m = 2.
On applique la formule point-pente :
$$ y - 3 = 2(x - 1) $$
On développe :
$$ y - 3 = 2x - 2 $$
On ajoute 3 des deux côtés :
$$ y = 2x - 2 + 3 $$
$$ y = 2x + 1 $$
On obtient ainsi l'équation complète de la droite.
Pour mieux comprendre, calculons quelques points à l'aide d'un tableau :
$$ \begin{array}{c|c} x & y = 2x + 1 \\ \hline -1 & -1 \\ 0 & 1 \\ 1 & 3 \\ 2 & 5 \end{array} $$
Chaque couple (x, y) vérifie l'équation. Ces points sont donc alignés sur la même droite.
Remarque. Deux points distincts suffisent pour déterminer une droite unique. Par exemple, pour trouver l'ordonnée à l'origine, il suffit de poser x = 0 dans l'équation $ y = 2x + 1 $. On obtient alors le point d'intersection avec l'axe des ordonnées.
Démonstration
La formule point-pente provient de la condition d'alignement des points dans le plan. Pour deux points distincts (x1, y1) et (x2, y2), la pente est donnée par :
$$ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} $$
Si un point (x, y) appartient à la même droite, alors :
$$ \frac{y - y_1}{x - x_1} = m $$
En multipliant par $ x - x_1 $, on obtient :
$$ y - y_1 = m(x - x_1) $$
ce qui conduit directement à :
$$ y = m(x - x_1) + y_1 $$
On retrouve ainsi la forme point-pente de l'équation d'une droite.
