Équation d’une droite passant par deux points

En géométrie analytique, deux points distincts déterminent une unique droite. Si l'on connaît les coordonnées de ces deux points \( (x_1, y_1) \) et \( (x_2, y_2) \), on peut écrire directement l'équation de la droite qui les relie grâce à la relation : $$ \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} $$ Cette écriture met en évidence la proportionnalité des variations entre les coordonnées.

Dans l'espace tridimensionnel, si l'on considère deux points distincts \( (x_1, y_1, z_1) \) et \( (x_2, y_2, z_2) \), la droite qui les relie vérifie : $$ \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{z - z_1}{z_2 - z_1} $$ On peut aussi écrire : $$ \begin{cases} \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} \\\\ \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{z - z_1}{z_2 - z_1} \end{cases} $$ à condition que les points soient distincts, c'est-à-dire que $ x_1 \ne x_2 $, $ y_1 \ne y_2 $ et $ z_1 \ne z_2 $.

Cette présentation est appelée forme fractionnaire de l'équation d'une droite.

Elle permet ensuite d'obtenir la forme générale :

$$ ax + by + c = 0 $$

La même relation sert aussi de condition d'alignement. Elle permet de vérifier si trois points sont situés sur une même droite.

• Si un point $ (x, y) $ satisfait l'égalité, il appartient à la droite définie par $ (x_1, y_1) $ et $ (x_2, y_2) $.
• Sinon, il n'est pas aligné avec eux.

Exemple

Cherchons l'équation de la droite passant par les points A(1,2) et B(4,5).

On applique la formule :

$$ \frac{y - 2}{5 - 2} = \frac{x - 1}{4 - 1} $$

$$ \frac{y - 2}{3} = \frac{x - 1}{3} $$

On multiplie par 3 :

$$ \frac{y - 2}{3} \cdot 3 = \frac{x - 1}{3} \cdot 3 $$

$$ y - 2 = x - 1 $$

On regroupe les termes :

$$ y - x - 1 = 0 $$

Sous forme explicite :

$$ y = x + 1 $$

On peut vérifier en choisissant quelques valeurs de x :

$$ \begin{array}{c|c} x & y = x + 1 \\ \hline -1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{array} $$

Chaque couple obtenu correspond à un point de la droite.

Méthode alternative

On peut commencer par calculer la pente :

$$ m = \frac{5 - 2}{4 - 1} = \frac{3}{3} = 1 $$

Puis utiliser la forme point-pente :

$$ y - 2 = 1(x - 1) $$

$$ y - 2 = x - 1 $$

$$ y = x + 1 $$

On retrouve exactement la même équation.

Exemple 2

Considérons P₁(7,4) et P₂(4,2).

On écrit :

$$ \frac{x - 7}{4 - 7} = \frac{y - 4}{2 - 4} $$

$$ \frac{x - 7}{-3} = \frac{y - 4}{-2} $$

On isole y :

$$ y = (-2)\left[ \frac{x}{-3} + \frac{1}{3} \right] $$

$$ y = \frac{2}{3}x - \frac{2}{3} $$

Il s'agit de la forme explicite recherchée.

Exemple 3

Considérons les points A(1,2), B(3,6) et C(5,10).

On vérifie la condition d'alignement :

$$ \frac{10 - 2}{6 - 2} = \frac{5 - 1}{3 - 1} $$

$$ \frac{8}{4} = \frac{4}{2} \Rightarrow 2 = 2 $$

Les trois points sont donc alignés.

Calculons l'équation de cette droite. $$ m = \frac{6 - 2}{3 - 1} = 2 $$ $$ y - 2 = 2(x - 1) $$ $$ y = 2x $$ Sous forme générale : $$ 2x - y = 0 $$

Solution alternative

Une manière simple et efficace de vérifier si trois points sont alignés consiste à comparer les pentes.

Calculons d'abord la pente du segment \( AB \) :

$$ m_{AB} = \frac{6 - 2}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2 $$

Puis la pente du segment \( BC \) :

$$ m_{BC} = \frac{10 - 6}{5 - 3} = \frac{4}{2} = 2 $$

Les deux pentes étant égales, les points sont situés sur une même droite. Ils sont donc colinéaires.

Méthode 3 : utiliser l'aire du triangle. Une autre approche repose sur une idée géométrique simple : si trois points sont alignés, le triangle qu'ils forment a une aire nulle. $$ \text{Aire} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right| $$ En remplaçant par les coordonnées : $$ \begin{align} \text{Aire} &= \frac{1}{2} \left| 1(6 - 10) + 3(10 - 2) + 5(2 - 6) \right| \\ &= \frac{1}{2} \left| -4 + 24 - 20 \right| \\ &= \frac{1}{2} \times 0 = 0 \end{align} $$ L'aire est nulle, donc les trois points sont colinéaires.

Exemple 4

Passons maintenant à l'espace tridimensionnel \( \mathbb{R}^3 \).

Considérons les points :

$$ P_1(1,2,3), \quad P_2(5,6,7) $$

Nous cherchons l'équation de la droite qui les relie.

On utilise la forme fractionnaire adaptée à l'espace :

$$ \begin{cases} \dfrac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \dfrac{x - x_1}{x_2 - x_1} \\\\ \dfrac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \dfrac{z - z_1}{z_2 - z_1} \end{cases} $$

En remplaçant les coordonnées :

$$ \begin{cases} \dfrac{y - 2}{6 - 2} = \dfrac{x - 1}{5 - 1} \\\\ \dfrac{y - 2}{6 - 2} = \dfrac{z - 3}{7 - 3} \end{cases} $$

$$ \begin{cases} \dfrac{y - 2}{4} = \dfrac{x - 1}{4} \\\\ \dfrac{y - 2}{4} = \dfrac{z - 3}{4} \end{cases} $$

On multiplie par 4 pour simplifier :

$$ \begin{cases} y - 2 = x - 1 \\\\ y - 2 = z - 3 \end{cases} $$

On obtient alors le système réduit :

$$ \begin{cases} x = y - 1 \\\\ y = z - 1 \end{cases} $$

Ce système décrit la droite dans l'espace.

Vérification. Pour savoir si un point appartient à cette droite, il suffit de tester ses coordonnées dans le système. Prenons par exemple $ Q(9,10,11) $ : $$ \begin{cases} 9 = 10 - 1 \\\\ 10 = 11 - 1 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} 9 = 9 \\\\ 10 = 10 \end{cases} $$ Les égalités sont vérifiées. Le point $ Q $ appartient donc à la droite.

Démonstration

Pour établir la formule générale, considérons trois points alignés : \( (x_1, y_1) \), \( (x_2, y_2) \) et \( (x, y) \).

S'ils sont sur une même droite, ils vérifient une équation de la forme :

$$ \begin{cases} ax_1 + by_1 + c = 0 \\\\ ax_2 + by_2 + c = 0 \\\\ ax + by + c = 0 \end{cases} $$

En soustrayant la première équation des deux autres :

$$ \begin{cases} a(x_2 - x_1) + b(y_2 - y_1) = 0 \\\\ a(x - x_1) + b(y - y_1) = 0 \end{cases} $$

On en déduit :

$$ \begin{cases} a(x_2 - x_1) = -b(y_2 - y_1) \\\\ a(x - x_1) = -b(y - y_1) \end{cases} $$

Puis :

$$ \begin{cases} \frac{x_2 - x_1}{y_2 - y_1} = -\frac{b}{a} \\\\ \frac{x - x_1}{y - y_1} = -\frac{b}{a} \end{cases} $$

Les deux rapports étant égaux, on obtient :

$$ \frac{x_2 - x_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{y - y_1} $$

Après une manipulation algébrique simple, on retrouve :

$$ \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} $$

Cette relation exprime précisément la condition de colinéarité et permet d'écrire l'équation d'une droite déterminée par deux points.

Approche alternative

Considérons deux points distincts du plan : P₁(x₁, y₁) et P₂(x₂, y₂).

Toute droite passant par P₁ peut s'écrire :

$$ y - y_1 = m(x - x_1) $$

où \( m \) est la pente.

Pour que la droite passe aussi par P₂, la pente doit être :

$$ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} $$

En remplaçant cette valeur dans l'équation précédente :

$$ y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1) $$

On obtient alors :

$$ \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} $$

On retrouve ainsi, de manière naturelle, l'équation d'une droite définie par deux points.

La droite passant par deux points en algèbre linéaire

Il existe une façon très élégante de retrouver l'équation d'une droite passant par deux points en utilisant les outils de l'algèbre linéaire.

Cette méthode repose sur une idée simple : une droite est entièrement déterminée par un point et une direction.

Démonstration

Prenons deux points du plan :

$$ P_1 \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} \qquad P_2 \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix} $$

Le vecteur qui va de P₁ vers P₂ fournit naturellement une direction à la droite :

$$ v_r = \begin{pmatrix} x_2 - x_1 \\ y_2 - y_1 \end{pmatrix} $$

On l'appelle le vecteur directeur de la droite.

Tout point \( (x,y) \) appartenant à cette droite s'obtient alors en partant de P₁ et en se déplaçant dans la direction de ce vecteur :

$$ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} x_2 - x_1 \\ y_2 - y_1 \end{pmatrix}, \qquad t \in \mathbb{R} $$

Cette écriture est appelée équation vectorielle de la droite.

Elle conduit immédiatement aux équations paramétriques :

$$ \begin{cases} x = x_1 + t(x_2 - x_1) \\ y = y_1 + t(y_2 - y_1) \end{cases} $$

Remarque. On pourrait tout aussi bien partir de P₂. On obtiendrait une autre paramétrisation, mais la droite décrite serait exactement la même.

Prenons maintenant un point quelconque \( P(x,y) \) situé sur la droite. Le vecteur reliant P₁ à P est :

$$ \overrightarrow{P_1P} = \begin{pmatrix} x - x_1 \\ y - y_1 \end{pmatrix} $$

Ce vecteur doit être parallèle au vecteur directeur \(\overrightarrow{P_1P_2}\). Autrement dit, ces deux vecteurs sont linéairement dépendants.

Cette condition se traduit par l'annulation du déterminant :

$$ \det \begin{pmatrix} x - x_1 & x_2 - x_1 \\ y - y_1 & y_2 - y_1 \end{pmatrix} = 0 $$

En développant ce déterminant, on obtient :

$$ (x - x_1)(y_2 - y_1) - (x_2 - x_1)(y - y_1) = 0 $$

Après réorganisation, on arrive à l'équation cartésienne :

$$ (x - x_1)(y_2 - y_1) = (x_2 - x_1)(y - y_1) $$

$$ \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} $$

On retrouve ainsi la formule générale de la droite déterminée par deux points.

Exemple concret

Considérons les points :

$$ P_1 \begin{pmatrix} 7 \\ 4 \end{pmatrix} \qquad P_2 \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} $$

Le vecteur directeur est :

$$ \overrightarrow{P_1P_2} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 7 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ -2 \end{pmatrix} $$

L'équation vectorielle devient :

$$ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 4 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -3 \\ -2 \end{pmatrix} $$

Ce qui donne les équations paramétriques :

$$ \begin{cases} x = 7 - 3t \\ y = 4 - 2t \end{cases} $$

Lorsque \( t \) varie dans \( \mathbb{R} \), le point décrit toute la droite. Pour \( t = 0 \), on retrouve P₁. Pour \( t = 1 \), on obtient P₂.

Pour passer à la forme cartésienne, on impose la proportionnalité entre :

$$ \overrightarrow{P_1P} = \begin{pmatrix} x - 7 \\ y - 4 \end{pmatrix} $$ et $$ \overrightarrow{P_1P_2} = \begin{pmatrix} -3 \\ -2 \end{pmatrix} $$

On écrit alors :

$$ \det \begin{pmatrix} x - 7 & -3 \\ y - 4 & -2 \end{pmatrix} = 0 $$

Ce qui conduit à :

$$ (x - 7)(-2) - (-3)(y - 4) = 0 $$

$$ -2x + 14 + 3y - 12 = 0 $$

$$ -2x + 3y + 2 = 0 $$

On peut isoler \( y \) :

$$ y = \frac{2x - 2}{3} $$

Pourquoi utiliser la forme cartésienne ? Parce qu'elle permet de vérifier immédiatement si un point donné satisfait l'équation, et donc s'il appartient à la droite.

Cette lecture vectorielle met en lumière le lien naturel entre géométrie analytique et algèbre linéaire.