Théorème des droites parallèles coupant deux sécantes
Si plusieurs droites parallèles sont coupées par deux droites sécantes, alors des segments congruents situés sur une première sécante déterminent des segments congruents sur l'autre sécante.
Un exemple pour comprendre
Considérons un ensemble de droites parallèles (a, b, c, d) coupées par deux droites sécantes r et s.
Nota. Un ensemble de droites parallèles est constitué de droites toutes parallèles entre elles. Par exemple, les droites a, b, c et d sont parallèles entre elles.
Les droites parallèles coupent la sécante r aux points A, B, C et D, et la sécante s aux points A', B', C' et D'.
Supposons maintenant que les segments AB et CD situés sur la sécante r soient congruents, c'est-à-dire qu'ils aient la même longueur.
$$ \overline{AB} \cong \overline{CD} $$
D'après le théorème des droites parallèles coupant deux sécantes, ces segments déterminent sur l'autre sécante s deux segments également congruents.
Autrement dit, les segments correspondants A'B' et C'D' ont la même longueur.
$$ \overline{A'B'} \cong \overline{C'D'} $$
Les extrémités des segments correspondants sont déterminées par les droites parallèles qui passent par les mêmes points sur la première sécante.
Par exemple, la droite « a » passe par le point A sur la première sécante et par le point A' sur la seconde. Ces deux points sont donc les extrémités inférieures des segments AB et A'B'.
Démonstration
Considérons maintenant un ensemble de droites parallèles (a, b, c) coupées par deux droites sécantes r et s.
Sur la sécante r, supposons que deux segments consécutifs soient congruents.
$$ \overline{AB} \cong \overline{BC} $$
Nous voulons montrer que les segments correspondants situés sur la sécante s sont eux aussi congruents.
Autrement dit, nous devons démontrer que
$$ \overline{A'B'} \cong \overline{B'C'} $$
Pour établir ce résultat, on distingue deux situations.
A] Les droites r et s sont parallèles
Dans ce premier cas, les deux droites sécantes sont en réalité parallèles.
$$ r || s $$
Comme r et s sont parallèles, les segments reliant les points correspondants AA', BB' et CC' ont la même longueur.
$$ AA' \cong BB' \cong CC' $$
Le quadrilatère AA'B'B est donc un parallélogramme, puisque ses côtés opposés sont parallèles.
De la même manière, le quadrilatère BB'C'C est également un parallélogramme.
Dans un parallélogramme, les côtés opposés sont congruents. On en déduit donc que
$$ \overline{AB} \cong \overline{A'B'} $$
et
$$ \overline{BC} \cong \overline{B'C'} $$
Or, par hypothèse initiale,
$$ \overline{AB} \cong \overline{BC} $$
Par transitivité, on obtient donc
$$ \overline{A'B'} \cong \overline{B'C'} $$
Les segments correspondants sur la droite s sont donc congruents lorsque r et s sont parallèles.
B] Les droites r et s sont sécantes
Dans ce second cas, les droites r et s se coupent.
On trace d'abord une droite s' parallèle à s passant par le point C.
Puis on trace une seconde droite s'' parallèle à s passant par le point B.
Le quadrilatère CDB'C' est alors un parallélogramme. Ses côtés opposés sont donc congruents.
$$ \overline{CD} \cong \overline{B'C'} $$
De même, le quadrilatère BFA'B' est un parallélogramme, ce qui implique
$$ \overline{BF} \cong \overline{A'B'} $$
Considérons maintenant les triangles ABF et BCD.
Ils possèdent un côté commun en longueur :
$$ \overline{AB} \cong \overline{BC} $$
Ils possèdent également deux paires d'angles congruents, d'après le théorème des droites parallèles.
Les triangles sont donc congruents selon le critère côté-angle-côté.
On en déduit notamment que
$$ \overline{BF} \cong \overline{CD} $$
Or nous savons que
$$ \overline{CD} \cong \overline{B'C'} $$
et
$$ \overline{BF} \cong \overline{A'B'} $$
Par transitivité, on obtient donc
$$ \overline{A'B'} \cong \overline{B'C'} $$
Les segments correspondants sur la sécante s sont donc congruents même lorsque les droites r et s se coupent.
Le même raisonnement peut être répété pour toutes les autres paires de segments déterminées par les droites parallèles.
