Famille de droites parallèles

Une famille de droites parallèles est l’ensemble de toutes les droites d’un plan qui sont parallèles à une droite donnée r.

Une telle famille regroupe une infinité de droites qui partagent toutes la même direction, donc la même pente.

Pour la représenter simplement, on se contente souvent d’une seule droite représentative, par exemple $ y = mx+q $, appelée droite de base de la famille.

En faisant varier le terme indépendant $ q $, qui correspond à l’ordonnée à l’origine, on obtient toutes les autres droites parallèles à cette droite de base.

$$ y = mx+q $$

On peut également décrire une famille de droites parallèles à l’aide de l’équation implicite de la droite de base.

$$ ax+by+k = 0 $$

Dans cette écriture, la variation du paramètre $ k $ permet de générer l’ensemble des droites parallèles à la droite de référence.

Exemple. L’équation $ y = 2x+q $ définit une famille de droites parallèles de pente constante $ m = 2 $. Si $ q = 0 $, la droite passe par l’origine et s’écrit $ y = 2x $. En faisant varier $ q $, on obtient les autres droites de la famille. Par exemple, si $ q = 5 $, l’équation devient $ y = 2x + 5 $; si $ q = -5 $, on obtient $ y = 2x - 5 $; si $ q = 10 $, alors $ y = 2x + 10 $, et ainsi de suite.

Équation implicite (cartésienne) d’une famille de droites parallèles

L’équation cartésienne, aussi appelée forme implicite, d’une famille de droites parallèles s’écrit :

$$ ax + by + c = 0 $$

Les coefficients $ a $ et $ b $, constants et non nuls, fixent la direction commune de toutes les droites de la famille.

Le terme $ c $ est un paramètre variable qui permet de décrire toutes les droites appartenant à la famille. 

Autrement dit, chaque droite de la famille correspond à une valeur particulière du paramètre $ c $, laquelle détermine sa position dans le plan.

Dans le cas particulier où $ c = 0 $, la droite passe par l’origine du repère, c’est-à-dire le point (0,0).

Remarque. La droite r, qui sert de référence ou de « base » à la famille, correspond elle aussi à une valeur unique de $ c $. Par exemple, si l’équation de la droite de base est $ 2x + 3y - 5 = 0 $, alors $ c = -5 $.

On peut distinguer deux cas particuliers importants :

• $ x = k $
  Cette équation décrit une famille de droites verticales, parallèles à l’axe des y. Chaque droite coupe l’axe des x en un point différent, déterminé par la valeur de $ k $, mais toutes sont perpendiculaires à l’axe des x. Lorsque $ x = 0 $, la droite se confond avec l’axe des y. Exemples : x = -5, x = -2, x = 1, x = 3, etc.
  
• $ y = k $
  Cette équation correspond à une famille de droites horizontales, parallèles à l’axe des x. Chaque droite coupe alors l’axe des y en une valeur différente de $ k $, mais elles sont toutes parallèles entre elles et ont une pente nulle. Lorsque $ y = 0 $, la droite se confond avec l’axe des x. Exemples : y = 3, y = 1, y = -1, y = -2, etc.
  

Ces deux situations sont particulièrement utiles pour décrire des familles de droites qui se déplacent parallèlement à l’un des axes du repère.

Équation de la famille sous forme explicite

La famille de droites parallèles peut également être décrite sous forme explicite :

$$ y = mx + q $$

Dans cette écriture, chaque valeur du paramètre $ q $ définit une droite différente de la famille.

Lorsque $ q = 0 $, la droite passe par l’origine.

Remarque. Le paramètre $ q $ représente l’ordonnée à l’origine, c’est-à-dire la valeur de $ y $ lorsque $ x = 0 $.

Équation paramétrique

Une autre manière efficace de représenter une famille de droites parallèles consiste à utiliser l’équation paramétrique :

$$ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} l \\ m \end{pmatrix} $$

Dans cette écriture, le point $ (x_0, y_0) $ change d’une droite à l’autre, tandis que le vecteur directeur $ (l, m) $ reste identique.

Exemple

Considérons la droite :

$$ 2x + 3y - 12 = 0 $$

En faisant varier la valeur du paramètre $ c $, on obtient les différentes droites parallèles appartenant à la famille.

 

Sous forme paramétrique, cette droite peut s’écrire :

$$ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} l \\ m \end{pmatrix} $$

$$ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -\frac{2}{3} \end{pmatrix} $$

En modifiant le point de passage (0,4) tout en conservant le même vecteur directeur, on génère l’ensemble des droites de la famille.

Transversale d’une famille de droites parallèles

Une transversale d’une famille est une droite qui coupe toutes les droites parallèles de la famille.

Par exemple, la droite r est une transversale de la famille.

Lorsque deux transversales distinctes coupent une même famille de droites parallèles, les points d’intersection avec chaque droite sont appelés points correspondants.

Par exemple, les points A et A' sont des points correspondants.

Les segments dont les extrémités sont des points correspondants situés sur une même transversale sont appelés segments correspondants.

Par exemple, les segments AB et BC sont des segments correspondants.

De la même manière, les segments A'B' et B'C' situés sur la seconde transversale sont également correspondants.

D’après le théorème de Thalès, lorsqu’une famille de droites parallèles est coupée par deux transversales, les segments correspondants sont proportionnels.

Par exemple, le segment AB est dans la même proportion avec CD que A'B' avec C'D'.

$$ AB:CD = A'B':C'D' $$

Cette relation est appelée correspondance de Thalès.

Et ainsi de suite.