Déterminer si deux droites sont sécantes, parallèles ou confondues
Dans le plan cartésien, deux droites peuvent se couper, être parallèles ou représenter exactement la même droite. Pour déterminer leur position relative, on analyse leurs équations générales :
$$ r: ax + by + c = 0 $$
$$ r': a'x + b'y + c' = 0 $$
La comparaison des coefficients et des termes constants permet de savoir immédiatement quelle relation géométrique existe entre les deux droites.
- Droites sécantes
Si les rapports entre les coefficients ne sont pas égaux, les droites se coupent en un point unique du plan.
$$ \frac{a}{a'} \ne \frac{b}{b'} $$
- Droites parallèles et distinctes
Si les rapports entre les coefficients sont égaux mais différents du rapport entre les termes constants, les droites sont parallèles et ne possèdent aucun point commun.
$$ \frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} \ne \frac{c}{c'} $$
- Droites confondues
Si tous les rapports sont égaux, les deux équations représentent en réalité la même droite. Elles ont donc tous leurs points en commun.
$$ \frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} = \frac{c}{c'} $$
Remarque : ces relations correspondent directement aux critères classiques de parallélisme et de coïncidence des droites.
Exemple pratique
Considérons les deux droites suivantes :
$$ r: 2x + 3y + 4 = 0 $$
$$ r': 4x + 6y + 12 = 0 $$
Commençons par vérifier le critère de parallélisme. On compare les rapports entre les coefficients.
$$ \frac{a}{a'} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $$
$$ \frac{b}{b'} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} $$
Les rapports sont identiques. Les droites ne se coupent donc pas.
$$ \frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} = \frac{1}{2} $$
Il reste maintenant à déterminer si les droites sont confondues ou simplement parallèles.
Calculons pour cela le rapport entre les termes constants :
$$ \frac{c}{c'} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} $$
Ce rapport est différent de celui obtenu pour les coefficients.
$$ \frac{c}{c'} = \frac{1}{3} \ne \frac{1}{2} = \frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} $$
Les deux droites sont donc parallèles et distinctes.
Exemple 2
Considérons maintenant les droites :
$$ r: 2x + 3y + 4 = 0 $$
$$ r': 4x - 6y + 8 = 0 $$
Pour déterminer leur position relative, examinons d'abord le critère de parallélisme.
$$ \frac{a}{a'} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $$
$$ \frac{b}{b'} = \frac{3}{-6} = -\frac{1}{2} $$
Les rapports ne sont pas égaux.
$$ \frac{1}{2} \ne -\frac{1}{2} $$
Les droites sont donc sécantes. Elles se coupent en un point unique.
Pour trouver ce point d'intersection, il suffit de résoudre le système d'équations :
$$ \begin{cases} 2x + 3y + 4 = 0 \\ 4x - 6y + 8 = 0 \end{cases} $$
Résolvons-le à l'aide de la méthode de substitution.
On isole d'abord \( x \) dans la première équation :
$$ \begin{cases} x = \frac{-4 - 3y}{2} \\ 4x - 6y + 8 = 0 \end{cases} $$
On remplace ensuite cette expression dans la seconde équation :
$$ \begin{cases} x = \frac{-4 - 3y}{2} \\ 4 \cdot \left( \frac{-4 - 3y}{2} \right) - 6y + 8 = 0 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} x = \frac{-4 - 3y}{2} \\ \frac{-16 - 12y}{2} - 6y + 8 = 0 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} x = \frac{-4 - 3y}{2} \\ \frac{-16 - 12y - 12y + 16}{2} = 0 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} x = \frac{-4 - 3y}{2} \\ \frac{-24y}{2} = 0 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} x = \frac{-4 - 3y}{2} \\ -12y = 0 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} x = \frac{-4 - 3y}{2} \\ y = 0 \end{cases} $$
On remplace alors \( y = 0 \) dans la première équation :
$$ \begin{cases} x = \frac{-4 - 3 \cdot 0}{2} \\ y = 0 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} x = \frac{-4}{2} \\ y = 0 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} x = -2 \\ y = 0 \end{cases} $$
La solution du système est :
$$ (x,y) = (-2,0) $$
Les deux droites se coupent donc au point (-2,0).
Calcul du déterminant
Il existe également une méthode plus rapide pour analyser la position relative de deux droites : le calcul du déterminant formé par les coefficients des variables \( x \) et \( y \).
$$ D = a \cdot b' - b \cdot a' $$
où les coefficients proviennent des équations :
$$ r: ax + by + c = 0 $$
$$ r': a'x + b'y + c' = 0 $$
La valeur du déterminant permet d'identifier immédiatement la situation géométrique.
- \( D \neq 0 \)
Les droites sont sécantes et se coupent en un point unique. - \( D = 0 \)
Les droites ne se coupent pas. Elles sont alors soit parallèles distinctes, soit confondues.
Lorsque \( D = 0 \), le critère de parallélisme est vérifié :
$$ \frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} $$
Pour savoir si les droites sont confondues, il faut comparer également les termes constants.
- Si
$$ \frac{c}{c'} = \frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} $$
les droites sont confondues.
- Si ce rapport est différent, les droites sont parallèles et distinctes.
Exemple
Considérons :
$$ r: 2x + 3y + 4 = 0 $$
$$ r': 4x + 6y + 8 = 0 $$
Calculons le déterminant :
$$ D = 2 \times 6 - 3 \times 4 = 12 - 12 = 0 $$
Le déterminant est nul. Les droites sont donc parallèles.
Vérifions maintenant si elles sont confondues :
$$ \frac{2}{4} = \frac{3}{6} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} $$
Les trois rapports sont égaux.
Les deux équations représentent donc la même droite.
Cette méthode permet donc de déterminer rapidement la relation entre deux droites en utilisant uniquement leurs coefficients, sans résoudre un système d'équations.
Et ainsi de suite.
