Droites gauches

Les droites gauches sont deux droites de l'espace tridimensionnel (x, y, z) qui ne sont pas coplanaires. Elles ne sont ni parallèles ni sécantes.

Autrement dit, il n'existe aucun plan capable de contenir simultanément ces deux droites.

Conséquence directe. Les droites gauches n'ont aucun point commun. Elles peuvent toutefois couper un même plan, mais en des points distincts. De plus, leurs directions ne sont pas parallèles.

Cette notion appartient exclusivement à la géométrie de l'espace (x, y, z). Dans le plan (x, y), toutes les droites sont coplanaires. Deux droites planes distinctes sont donc nécessairement parallèles ou sécantes. Les droites gauches, en revanche, ne se rencontrent jamais.

Un exemple concret

Considérons un solide dans l'espace.

Par exemple, un cube.

Imaginons une droite r (rouge) passant par les sommets E et F du cube, ainsi qu'une droite s (bleue) passant par les sommets A et H.

Les droites r et s, portées respectivement par les arêtes EF et AH, sont des droites gauches. Elles ne sont pas coplanaires, ne se coupent pas et ne sont pas parallèles.

En revanche, les droites r (rouge) et t (verte) ne sont pas gauches. Elles ne se coupent pas, mais elles sont parallèles.

Les droites r (rouge) et p (violette) ne sont pas gauches non plus, car elles sont sécantes au point E.

De même, les droites s (bleue) et t (verte) ne sont pas gauches. Elles se rencontrent au point H et appartiennent à un même plan.

Enfin, les droites s (bleue) et q (jaune) sont des droites gauches, car elles ne sont ni parallèles ni sécantes.

Pour la même raison, les droites r (rouge) et q (jaune), ainsi que les droites t (verte) et q (jaune), sont également gauches.

À l'inverse, les droites u (violette) et q (jaune) ne sont pas gauches. Elles sont parallèles et peuvent être contenues dans un même plan.

Ces configurations permettent d'identifier clairement les droites gauches. Elles ne se coupent pas et ne sont pas parallèles.

Remarque : Les deux conditions « absence d'intersection » et « absence de parallélisme » suffisent à caractériser des droites gauches. Elles impliquent nécessairement la non-coplanarité.

Caractéristiques des droites gauches

Deux droites sont gauches si elles vérifient simultanément :

• Elles ne sont pas sécantes
  Elles ne partagent aucun point commun.
• Elles ne sont pas parallèles
  Leurs vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires.

En résumé. Deux droites gauches ne se coupent pas et ne sont pas parallèles.

Cela signifie qu'elles ne peuvent pas appartenir à un même plan. Dans un plan, deux droites distinctes sont toujours parallèles ou sécantes.

Attention toutefois. Deux droites gauches peuvent avoir des points situés dans un même plan, à condition qu'il s'agisse de points distincts.

Par exemple, les droites r (bleue) et q (jaune) sont gauches, bien que les points A et B appartiennent à un même plan. Ces points restent distincts.

Pourquoi deux droites gauches ne peuvent-elles pas être sécantes ?

Deux droites gauches ne peuvent avoir de point commun puisqu'elles sont, par définition, non coplanaires.

Démonstration par l'absurde. Supposons que deux droites gauches r₁ et r₂ se coupent en un point \( P \).

Choisissons un point \( A \) sur r₁ et un point \( B \) sur r₂, distincts de \( P \).

Les trois points \( P \), \( A \) et \( B \) déterminent un plan unique β.

Ce plan contiendrait alors les deux droites, qui seraient coplanaires.

Contradiction. L'hypothèse de départ est donc impossible.

Conclusion. Si deux droites sont sécantes, elles sont nécessairement coplanaires et ne peuvent pas être gauches.

Les notions de droites gauches et de droites sécantes sont donc incompatibles. Deux droites coplanaires ne sont pas gauches. Deux droites gauches ne se coupent jamais.

Et ainsi de suite.