La tangente à une courbe

Considérons une droite sécante $ s $ qui coupe une courbe en deux points distincts $ P $ et $ Q $. Lorsque le point $ Q $ se déplace le long de la courbe et se rapproche progressivement de $ P $, la droite sécante change continuellement de position jusqu'à tendre vers une droite limite. Cette droite limite est appelée la tangente $ t $ à la courbe au point $ P $.
tangente à une courbe

La tangente est la droite qui, au voisinage d'un point donné, suit localement la même direction que la courbe.

Autrement dit, lorsqu'on agrandit fortement la zone autour du point de tangence, la courbe et sa tangente deviennent pratiquement indiscernables dans une région très petite.

Contrairement à une idée répandue, une tangente ne touche pas toujours la courbe en un seul point. Dans de nombreux cas, elle peut recouper la courbe en d'autres points.

exemple de tangente

Certaines courbes possèdent toutefois des propriétés particulières. Par exemple, dans le cas d'un cercle ou d'une ellipse, la tangente possède un unique point de contact avec la courbe.

Exemple. Dans un cercle, la tangente en un point est perpendiculaire au rayon $ r $ reliant le centre au point de tangence $ P $. Dans cette situation, la droite touche le cercle en un seul point.
exemple de tangente à un cercle

Déterminer l'équation de la tangente à l'aide des dérivées

Lorsque la courbe représente le graphe d'une fonction $ y=f(x) $, l'équation de la tangente peut être obtenue grâce aux dérivées.

La dérivée $ f'(x_0) $ donne le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse $ x_0 $.

Une fois ce coefficient connu, l'équation de la tangente s'écrit sous la forme point-pente :

$ y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0) $

ou, de manière équivalente,

$ y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0) $

Exemple

Considérons la parabole

$ f(x)=x^2 $

Nous voulons déterminer la tangente au point d'abscisse $ x_0=1 $.

Calculons d'abord le point correspondant sur la courbe :

$ f(1)=1^2=1 $

Le point de tangence est donc :

$ P(1,1) $

exemple de tangente à une parabole

Écrivons maintenant l'équation générale d'une droite passant par ce point :

\[ (y-y_0)=m \cdot (x-x_0) \]

En remplaçant par les coordonnées de $ P $ :

\[ (y-1)=m \cdot (x-1) \]

Calculons ensuite la dérivée de la fonction :

$ f'(x)=2x $

Évaluons cette dérivée en $ x_0=1 $ :

$ f'(1)=2 $

Le coefficient directeur de la tangente vaut donc :

$ m=2 $

En remplaçant cette valeur dans l'équation de la droite :

$ y-1=2(x-1) $

Après simplification :

$ y-1=2x-2 $

$ y=2x-1 $

La tangente à la parabole $ y=x^2 $ au point $ P(1,1) $ est donc :

$ y=2x-1 $

La tangente permet de décrire le comportement local d'une fonction autour du point de tangence. C'est l'une des idées fondamentales du calcul différentiel.

tangente à une parabole

Et ainsi de suite.