Circumcentre d’un triangle
Le circumcentre d'un triangle est le point d'intersection des médiatrices de ses côtés. Il correspond également au centre du cercle circonscrit au triangle.
Les médiatrices sont les droites perpendiculaires aux côtés du triangle qui passent par leur milieu. Chaque triangle possède trois médiatrices, une pour chacun de ses côtés.
Le circumcentre joue un rôle important en géométrie, car il est le centre du cercle circonscrit, c'est-à-dire du cercle qui passe exactement par les trois sommets du triangle.
Centre du cercle circonscrit. Le circumcentre est situé à égale distance des trois sommets du triangle. Cette distance commune correspond au rayon du cercle circonscrit (r).
Comment construire le circumcentre
Considérons un triangle ABC.
Le triangle possède trois sommets, A, B et C, ainsi que trois côtés : AB, BC et AC.
La première étape consiste à repérer le milieu de chacun des côtés : MAB, MBC et MAC.
Qu'est-ce que le milieu d'un segment ? Le milieu est le point qui partage un segment en deux segments de même longueur.
On trace ensuite la médiatrice de chaque côté. Chaque médiatrice passe par le milieu du côté correspondant et lui est perpendiculaire.
Elle forme donc un angle droit de 90° avec ce côté.
Le point où les trois médiatrices se rencontrent est le circumcentre du triangle.
Pour construire le cercle circonscrit, il suffit ensuite de relier le circumcentre à l'un des sommets du triangle, par exemple au sommet B.
Le segment r ainsi obtenu est le rayon du cercle circonscrit.
En traçant un cercle de centre le circumcentre et de rayon r, on obtient le cercle circonscrit qui passe par les trois sommets du triangle.
Démonstration
La démonstration de l'existence du circumcentre repose sur une propriété fondamentale de la géométrie.
Considérons un triangle quelconque ABC.
Par trois points distincts non alignés passe toujours un cercle unique.
Tout triangle peut donc être inscrit dans un cercle unique passant par ses trois sommets. Le centre de ce cercle est précisément le circumcentre (O).
Le côté AB est une corde de ce cercle.
Or, la médiatrice d'une corde passe toujours par le centre du cercle. La médiatrice du segment AB passe donc nécessairement par le point O.
Le même raisonnement s'applique aux côtés BC et AC, qui sont également des cordes du cercle.
Leurs médiatrices passent donc elles aussi par le point O.
On en conclut que le point d'intersection des médiatrices d'un triangle est le centre du cercle circonscrit à ce triangle.
Remarques
La position du circumcentre varie selon la nature du triangle.
- Dans un triangle acutangle, le circumcentre se situe à l'intérieur du triangle.
- Dans un triangle obtusangle, le circumcentre se trouve à l'extérieur du triangle.
- Dans un triangle rectangle, le circumcentre est situé au milieu de l'hypoténuse.
Le circumcentre possède également une autre propriété remarquable.
- Il appartient toujours à la droite d'Euler
La droite d'Euler est une droite remarquable qui passe par le centre de gravité (G), le circumcentre (E) et l'orthocentre (O) du triangle.
Et ainsi de suite.
