Théorème des milieux dans un triangle

Dans un triangle, le segment joignant les milieux de deux côtés est parallèle au troisième côté et sa longueur est égale à la moitié de celle de ce dernier.

Le théorème des milieux est l'une des propriétés les plus utiles de la géométrie du triangle. Il permet de déterminer rapidement des parallélismes et des longueurs sans avoir recours à des calculs complexes.

Lorsqu'on relie les milieux de deux côtés d'un triangle, le segment obtenu est toujours parallèle au troisième côté et sa longueur est exactement égale à la moitié de celle-ci.

Cette propriété est valable pour tous les triangles, qu'ils soient quelconques, isocèles, équilatéraux ou rectangles.

Exemple

Considérons un triangle ABC dont les côtés mesurent respectivement AB = 5, BC = 3 et AC = 4.

Chaque côté possède un milieu qui le partage en deux segments de même longueur : M₁ sur AB, M₂ sur BC et M₃ sur AC.

Relions maintenant le milieu M₂ du côté BC au milieu M₃ du côté AC.

Le segment M₂M₃ est parallèle au côté AB.

Sa longueur est égale à la moitié de celle du côté AB :

$$ \overline{M_2M_3} = \frac{\overline{AB}}{2} = \frac{5}{2} = 2.5 $$

On retrouve la même propriété pour les deux autres segments des milieux.

Le segment reliant M₁ et M₃ est parallèle au côté BC et mesure la moitié de sa longueur, soit 1,5.

De même, le segment reliant M₁ à M₂ est parallèle au côté AC et mesure la moitié de sa longueur, soit 2.

Corollaire

Toute droite passant par le milieu d'un côté d'un triangle et parallèle à un autre côté passe également par le milieu du troisième côté.

Cette propriété découle directement du théorème des milieux et constitue un outil très utile dans les démonstrations géométriques.

Par exemple, traçons la droite r parallèle au côté AB et passant par le milieu M₂ du côté BC.

Cette droite passe également par le milieu M₃ du côté AC.

La réciproque est également vraie. Une droite parallèle à AB passant par le milieu M₃ passe nécessairement par le milieu M₂ du côté BC.

De façon analogue, une droite parallèle au côté BC passant par le milieu M₃ du côté AC traverse également le milieu M₁ du côté AB, et réciproquement.

Enfin, toute droite parallèle au côté AC passant par le milieu M₁ du côté AB passe également par le milieu M₂ du côté BC, et inversement.

Démonstration

Pour démontrer le théorème, considérons un triangle ABC et un point M situé sur le côté AC.

Le point M est le milieu du côté AC. Par définition, il partage donc ce côté en deux segments congruents :

AM ≅ CM

La démonstration se déroule en trois étapes complémentaires.

A] Une droite parallèle à un côté et passant par le milieu d'un autre côté passe également par le milieu du troisième côté

Traçons deux droites r et s parallèles au côté AB, passant respectivement par les points M et C.

La droite r coupe le côté BC au point D.

Les côtés AC et BC jouent alors le rôle de sécantes aux droites parallèles r et s.

D'après le théorème des droites parallèles, les segments interceptés sur les sécantes sont proportionnels.

Comme AM ≅ CM, il en résulte que :

BD ≅ CD

Le point D est donc le milieu du côté BC.

Nous venons ainsi de démontrer qu'une droite parallèle à un côté d'un triangle et passant par le milieu d'un autre côté passe nécessairement par le milieu du troisième côté.

B] Une droite passant par les milieux de deux côtés est parallèle au troisième côté du triangle

Montrons maintenant la réciproque.

Considérons une droite r passant par les milieux M₂ du côté BC et M₃ du côté AC.

Nous souhaitons démontrer que cette droite est parallèle au côté AB.

Raisonnons par l'absurde.

Supposons que la droite r ne soit pas parallèle au côté AB.

Dans ce cas, il existerait une autre droite s parallèle à AB vérifiant :

$$ \overline{AM_2} : \overline{CM_2} = \overline{BM_2} : \overline{CM_2} $$

Comme AM₂ ≡ CM₂, la droite s couperait le côté BC en un autre milieu M'₂, distinct de M₂.

Le côté BC posséderait alors deux milieux différents.

Or un segment ne possède qu'un seul milieu. Cette contradiction montre que l'hypothèse est fausse.

La droite r est donc nécessairement parallèle au côté AB.

C] Le segment joignant les milieux de deux côtés mesure la moitié du troisième côté

Il reste à établir la relation entre les longueurs.

Nous savons déjà que le segment M₂M₃ est parallèle au côté AB.

Traçons une droite s parallèle au côté AC passant par le point M₂.

D'après le résultat démontré précédemment, cette droite passe également par le milieu M₁ du côté AB.

Le quadrilatère AM₁M₂M₃ est alors un parallélogramme.

Ses côtés opposés sont parallèles et de même longueur :

$$ AM_1 \cong M_2 M_3 $$

$$ AM_3 \cong M_1 M_2 $$

Le segment M₂M₃ est donc congruent au segment AM₁.

Or M₁ est le milieu du côté AB, ce qui implique :

$$ AM_1 \cong \frac{\overline{AB}}{2} $$

Par conséquent :

$$ M_2M_3 \cong \frac{\overline{AB}}{2} $$

Nous avons ainsi démontré que la distance entre les milieux de deux côtés d'un triangle est exactement égale à la moitié de la longueur du troisième côté.

Le même raisonnement s'applique aux deux autres côtés du triangle.