Triangle équilatéral

Un triangle équilatéral est un triangle dont les trois côtés ont exactement la même longueur.

Parmi les différentes catégories de triangles, le triangle équilatéral occupe une place particulière en raison de sa parfaite symétrie. Ses trois côtés sont égaux, ce qui lui confère des propriétés géométriques remarquables et facilite de nombreux calculs.

Le terme « équilatéral » vient du latin et signifie littéralement « à côtés égaux ».

Une autre caractéristique essentielle du triangle équilatéral est que ses trois angles intérieurs sont égaux. Chacun mesure 60°. Cette propriété découle directement du fait que la somme des angles intérieurs de tout triangle est égale à 180°. Dans un triangle équilatéral, cette somme se répartit donc de manière uniforme : 60° + 60° + 60° = 180°.

Formules

Le triangle équilatéral possède plusieurs formules spécifiques qui permettent de calculer rapidement ses principales caractéristiques.

• Périmètre
  Comme les trois côtés sont identiques, il suffit de multiplier la longueur d'un côté par trois : $$ P = 3 l $$
• Aire
  L'aire se calcule comme pour n'importe quel triangle, en multipliant la base (b) par la hauteur (h), puis en divisant le résultat par deux : $$ A = \frac{b \cdot h}{2} $$ Toutefois, dans le cas d'un triangle équilatéral, il existe une formule plus directe qui dépend uniquement de la longueur du côté : $$ A = \frac{l^2 \cdot \sqrt{3}}{4} $$
• Longueur du côté
  Si la hauteur (h) est connue, la longueur du côté peut être obtenue à l'aide de la relation suivante (démonstration) : $$ l = \frac{2h}{\sqrt{3}} $$ Lorsque le rayon (r) du cercle circonscrit est connu, on peut utiliser la formule suivante (voir la démonstration) : $$ l = r \cdot \sqrt{3} $$ Enfin, si l'on connaît le rayon du cercle inscrit (démonstration), on obtient : $$ l = 2r \sqrt{3} $$
• Hauteur
  La hauteur d'un triangle équilatéral est directement proportionnelle à la longueur de son côté (démonstration) : $$ h = \frac{l}{2} \sqrt{3} $$

Remarque : l'égalité des trois côtés permet d'établir de nombreuses relations géométriques particulières. La plupart d'entre elles se déduisent en appliquant le théorème de Pythagore à l'un des deux triangles rectangles obtenus lorsqu'on trace une hauteur depuis un sommet.

Comment construire un triangle équilatéral

La construction d'un triangle équilatéral à l'aide d'un compas est l'un des exercices classiques de la géométrie euclidienne.

Commencez par tracer un segment de droite AB.

Placez ensuite la pointe du compas au point A et tracez un arc de cercle de rayon AB.

Sans modifier l'ouverture du compas, placez maintenant la pointe au point B et tracez un second arc de cercle de même rayon.

Les deux arcs se croisent en un point noté C.

Ce point constitue le troisième sommet du triangle équilatéral.

Reliez ensuite les points A et C, puis les points B et C.

La figure obtenue est un triangle équilatéral.

Les trois côtés ont alors exactement la même longueur, ce qui vérifie la définition d'un triangle équilatéral.

Si vous souhaitez découvrir d'autres méthodes de construction d'un triangle équilatéral, cliquez ici.

Propriétés remarquables du triangle équilatéral

Le triangle équilatéral est l'une des figures les plus régulières de la géométrie. Grâce à sa parfaite symétrie, il possède de nombreuses propriétés qui simplifient les démonstrations et les calculs. Voici les principales caractéristiques qui le distinguent des autres triangles.

• Le triangle équilatéral est un cas particulier de triangle isocèle
  Un triangle est dit isocèle lorsqu'il possède au moins deux côtés de même longueur (AC≅BC). Le troisième côté (AB) est appelé base, et les deux angles adjacents à cette base sont égaux (α≅β).
  
  Dans un triangle équilatéral, les trois côtés sont égaux (AC≅BC≅AB). Chacun d'eux peut donc être considéré comme une base, tandis que les deux autres jouent le rôle des côtés égaux d'un triangle isocèle.
  
  Ainsi, tout triangle équilatéral appartient à la famille des triangles isocèles.

  Cette propriété est particulièrement utile, car elle permet d'appliquer aux triangles équilatéraux plusieurs théorèmes démontrés pour les triangles isocèles.

• Les trois angles d'un triangle équilatéral sont égaux
  Dans un triangle équilatéral, les trois angles intérieurs ont exactement la même mesure.
  

  Démonstration. Un triangle équilatéral peut être considéré comme un triangle isocèle, quel que soit le côté choisi comme base. Or, dans un triangle isocèle, les angles à la base sont égaux (théorème du triangle isocèle).
  
  Dans un triangle équilatéral, chacun des trois côtés peut jouer le rôle de base.
  
  On obtient alors : $$ \alpha = \beta $$ $$ \beta = \gamma $$ $$ \alpha = \gamma $$ Par transitivité de l'égalité, on en déduit : $$ \alpha = \beta = \gamma $$ Les trois angles d'un triangle équilatéral sont donc égaux.

• Chaque angle d'un triangle équilatéral mesure 60°
  Puisque les trois angles sont égaux et que leur somme vaut 180°, chacun mesure nécessairement 60°.
  

  Démonstration. La somme des angles intérieurs d'un triangle est toujours égale à 180°. Comme les trois angles d'un triangle équilatéral sont égaux, on obtient : $$ 180^\circ \ : \ 3 = 60^\circ $$

• Dans un triangle équilatéral, chaque bissectrice est aussi une médiane et une hauteur
  Dans cette figure très symétrique, plusieurs droites remarquables se confondent. Les hauteurs, les médianes, les bissectrices et les médiatrices correspondantes sont une seule et même droite.
  
  Chacune de ces droites constitue également un axe de symétrie du triangle.

  Cette propriété entraîne une conséquence remarquable : le centre de gravité, l'incentre, le circoncentre et l'orthocentre sont confondus en un même point.

  Démonstration. Le triangle équilatéral étant un cas particulier de triangle isocèle, les propriétés des triangles isocèles restent valables. Dans un triangle isocèle, la bissectrice de l'angle au sommet est également la hauteur et la médiane relatives à la base.
  
  Comme un triangle équilatéral possède trois bases possibles, chacune de ses bissectrices est simultanément une hauteur, une médiane et un axe de symétrie.
  

• Chaque angle représente un tiers d'un angle plat

  Démonstration. D'après le théorème de la somme des angles intérieurs d'un triangle : $$ \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ $$ Comme les trois angles sont égaux : $$ \alpha = \beta = \gamma = \frac{180^\circ}{3} = 60^\circ $$ Chaque angle représente donc le tiers d'un angle plat.

• Tous les triangles équilatéraux sont semblables
  Deux triangles équilatéraux peuvent avoir des dimensions différentes, mais leurs angles correspondants sont toujours égaux. Selon le premier critère de similitude, ils sont donc nécessairement semblables.
  
• La droite d'Euler n'est pas définie de manière unique
  Dans un triangle quelconque, la droite d'Euler passe par le centre de gravité, le circoncentre et l'orthocentre. Dans un triangle équilatéral, ces trois points remarquables sont confondus. Il n'existe donc pas une unique droite d'Euler : toute droite passant par ce point satisfait cette condition.
• L'aire dépend uniquement de la longueur du côté
  L'aire d'un triangle équilatéral peut être calculée directement à partir de la longueur d'un côté :
  $$ A = \frac{l^2 \cdot \sqrt{3}}{4} $$ où \( l \) représente la longueur du côté.
• La longueur du côté est égale au rayon du cercle circonscrit multiplié par √3 $$ l = r \cdot \sqrt{3} $$

  Le rayon du cercle circonscrit, c'est-à-dire du cercle passant par les trois sommets du triangle, est donné par : $$ r = \frac{l}{\sqrt{3}} $$
  
  On en déduit immédiatement : $$ l = r \cdot \sqrt{3} $$

• Le rayon du cercle inscrit est lié à la longueur du côté
  Le rayon du cercle inscrit, tangent aux trois côtés du triangle, vaut : $$ r = \frac{l}{2 \cdot \sqrt{3}} $$ où \( l \) désigne la longueur du côté.
  Cette relation peut également être inversée : $$ l = 2\sqrt{3} \cdot r $$
  
• Relation entre le cercle inscrit et le cercle circonscrit
  Dans un triangle équilatéral, le rayon du cercle inscrit \( r \) et le rayon du cercle circonscrit \( R \) vérifient toujours la relation : $$ r = \frac{R}{2} $$ Cette propriété résulte du fait que le centre de gravité, l'orthocentre, le circoncentre et l'incentre sont confondus en un unique point \( O \).
  
  Le centre commun partage chaque médiane dans le rapport 2:1 à partir du sommet. On obtient alors : $$ R = 2r $$ La hauteur du triangle peut s'écrire : $$ h = r + R $$ En remplaçant \( R \) par \( 2r \) : $$ h = r + 2r = 3r $$ Comme \( h = r + R \) et \( h = 3r \), on a : $$ 3r = r + R $$ donc : $$ 2r = R $$ et finalement : $$ r = \frac{R}{2} $$

Ces propriétés illustrent le degré exceptionnel de symétrie du triangle équilatéral. Elles expliquent également pourquoi cette figure joue un rôle fondamental dans l'étude de la géométrie et apparaît fréquemment dans les démonstrations, les constructions géométriques et les applications mathématiques.

Et ainsi de suite.

 

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