Côté et hauteur d’un triangle équilatéral : formule et démonstration
Dans un triangle équilatéral, il existe une relation simple entre la longueur du côté et la hauteur. Si la hauteur est connue, la longueur du côté se calcule à l'aide de la formule suivante : $$ l = \frac{2h}{ \sqrt{3} } $$
Cette formule est parfois présentée sous une forme équivalente :
$$ l = \frac{2 \cdot \sqrt{3} }{3} h $$
Les deux expressions sont rigoureusement identiques et conduisent au même résultat.
La formule réciproque permet de déterminer la hauteur (h) lorsque la longueur du côté (l) est connue : $$ h = \frac{ \sqrt{3} }{2} l $$
Exemple de calcul
Considérons un triangle équilatéral dont le côté mesure 3 unités et dont la hauteur vaut h = 2.5981.
Vérifions que la formule permet bien de retrouver la longueur du côté à partir de la hauteur.
$$ l = \frac{2h}{ \sqrt{3} } $$
En remplaçant h par 2.5981 :
$$ l = \frac{2 \cdot 2.5981}{ \sqrt{3} } $$
$$ l = \frac{5.1962}{ \sqrt{3} } $$
$$ l = 3 $$
Le calcul confirme que la longueur du côté est bien égale à 3 unités.
Démonstration de la formule
Considérons un triangle équilatéral.
Par définition, les trois côtés ont la même longueur :
$$ l = \overline{AB} = \overline{BC} = \overline{AC} $$
Traçons maintenant la hauteur h issue du sommet C et relative à la base AB.
Dans un triangle équilatéral, la hauteur est perpendiculaire à la base et passe par son milieu. Le point H est donc le milieu du segment AB.
Cette construction partage le triangle équilatéral en deux triangles rectangles congruents.
Nous pouvons alors appliquer le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle AHC :
$$ \overline{HC} = \sqrt{\overline{AC}^2 - \overline{AH}^2} $$
Comme HC représente la hauteur h et AC la longueur du côté l, on obtient :
$$ h = \sqrt{l^2 - \overline{AH}^2} $$
Le point H étant le milieu de AB, le segment AH mesure la moitié du côté :
$$ AH = \frac{l}{2} $$
En remplaçant dans la formule précédente :
$$ h = \sqrt{l^2 - \left( \frac{l}{2} \right)^2} $$
Développons le calcul étape par étape :
$$ h = \sqrt{l^2 - \frac{l^2}{4}} $$
$$ h = \sqrt{\frac{4l^2 - l^2}{4}} $$
$$ h = \sqrt{\frac{3l^2}{4}} $$
$$ h = \frac{l}{2}\sqrt{3} $$
Nous obtenons ainsi la formule permettant de calculer la hauteur d'un triangle équilatéral à partir de la longueur de son côté.
Pour isoler la variable l, il suffit de multiplier les deux membres de l'équation par 2/√3 :
$$ h \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{l}{2}\sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} $$
$$ \frac{2}{\sqrt{3}}h = l $$
On obtient alors :
$$ l = \frac{2}{\sqrt{3}}h $$
Cette formule permet de calculer directement la longueur du côté à partir de la hauteur d'un triangle équilatéral.
Remarque : il est fréquent de rationaliser le dénominateur afin d'obtenir une écriture sans radical au dénominateur. $$ l = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \cdot h $$ $$ l = \frac{2 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} h $$ $$ l = \frac{2 \cdot \sqrt{3}}{3} h $$ Cette dernière forme est totalement équivalente à la formule précédente.
