Hauteur d’un triangle

La hauteur (h) d'un triangle est le segment perpendiculaire tracé depuis un sommet jusqu'au côté opposé, ou jusqu'au prolongement de ce côté.

Autrement dit, la hauteur représente la distance perpendiculaire entre un sommet et la base choisie.

Par définition, elle forme un angle droit avec la base.

Comme un triangle possède trois côtés et que chacun d'eux peut être considéré comme une base, tout triangle possède trois hauteurs.

Par exemple, si l'on choisit le côté CB comme base, la hauteur est tracée de la manière suivante :

Si l'on prend le côté AC comme base, on obtient une autre hauteur :

La hauteur peut également se situer à l'extérieur du triangle. C'est le cas lorsqu'elle est perpendiculaire au prolongement de la base et non au côté lui-même.

Cette caractéristique permet de distinguer la hauteur de la bissectrice et de la médiane, qui restent toujours à l'intérieur du triangle.

Comment calculer la hauteur d'un triangle

La hauteur d'un triangle se calcule à partir de son aire et de la longueur de sa base :

$$ h = \frac{2A}{b} $$

où :

• \( A \) est l'aire du triangle ;
• \( b \) est la longueur de la base.

Pour obtenir la hauteur, il suffit donc de diviser le double de l'aire par la longueur de la base.

Pourquoi cette formule fonctionne-t-elle ?
Elle provient directement de la formule de l'aire d'un triangle :

$$ A = \frac{b \cdot h}{2} $$

Pour isoler la hauteur \( h \), on multiplie d'abord les deux membres par 2 :

$$ 2 \cdot A = b \cdot h $$

Puis on divise les deux membres par \( b \) :

$$ h = \frac{2A}{b} $$

Un exemple pratique

Considérons le triangle ABC suivant.

Choisissons le segment AB comme base.

Pour construire la hauteur correspondante, il faut tracer un segment perpendiculaire à AB passant par le sommet opposé C.

Le segment obtenu est la hauteur du triangle.

Construction géométrique de la hauteur : placez la pointe du compas au sommet C et tracez un arc de cercle de rayon AC afin de repérer le point D.

Sans modifier l'ouverture du compas, tracez ensuite un arc de cercle de centre A puis un autre de centre D. Leur point d'intersection détermine le point E, situé à l'extérieur du triangle.

Reliez enfin le point E au sommet C par le segment EC. Celui-ci coupe la base en F et lui est perpendiculaire. La hauteur du triangle est alors le segment CF.

Hauteur d'un triangle équilatéral

Dans un triangle équilatéral, la hauteur peut être calculée directement à partir de la longueur d'un côté grâce à la formule : \[ h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot l \] où \( h \) représente la hauteur et \( l \) la longueur d'un côté.

Cette relation résulte des propriétés particulières du triangle équilatéral.

Il suffit donc de connaître la longueur d'un côté pour déterminer immédiatement sa hauteur.

Exemple

Considérons un triangle équilatéral ABC dont chaque côté mesure 6 unités.

Appliquons la formule :

$$ h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot l $$

Avec \( l = 6 \) :

$$ h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 6 $$

$$ h = 3 \cdot \sqrt{3} $$

$$ h \approx 5.1962 $$

La hauteur du triangle équilatéral est donc d'environ 5,1962 unités.

 

Démonstration

Un triangle équilatéral possède trois côtés de même longueur.

Lorsqu'on trace une hauteur depuis un sommet vers le côté opposé, le triangle est partagé en deux triangles rectangles congruents : \( \triangle ACH \cong \triangle BCH \).

Dans chacun de ces triangles rectangles :

• la hauteur \( h \) est un côté de l'angle droit ;
• la demi-base \( \frac{l}{2} \) est l'autre côté de l'angle droit ;
• le côté \( l \) du triangle équilatéral est l'hypoténuse.

On applique alors le théorème de Pythagore :

$$ l^2 = h^2 + \left(\frac{l}{2}\right)^2 $$

$$ l^2 = h^2 + \frac{l^2}{4} $$

En isolant \( h \) :

$$ h^2 = l^2 - \frac{l^2}{4} $$

$$ h^2 = \frac{3l^2}{4} $$

En prenant la racine carrée des deux membres :

$$ h = \sqrt{\frac{3l^2}{4}} $$

$$ h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot l $$

On retrouve ainsi la formule :

$$ h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot l $$

Orthocentre

L'orthocentre est le point d'intersection des trois hauteurs d'un triangle.

Sa position dépend de la nature du triangle :

• À l'intérieur du triangle
  Dans un triangle acutangle, c'est-à-dire lorsque tous les angles sont inférieurs à 90°, l'orthocentre se trouve à l'intérieur du triangle.
  
• À l'extérieur du triangle
  Dans un triangle obtusangle, qui possède un angle supérieur à 90°, l'orthocentre se situe à l'extérieur du triangle.
  
• Sur un sommet
  Dans un triangle rectangle, l'orthocentre coïncide avec le sommet de l'angle droit.