Orthocentre

Dans un triangle, l’orthocentre est le point où se rencontrent les trois hauteurs.

Une hauteur est une droite qui passe par un sommet du triangle et qui est perpendiculaire au côté opposé, ou à son prolongement.

Comme un triangle possède trois sommets, il possède également trois hauteurs.

Le point d’intersection de ces trois droites est appelé orthocentre.

Où se trouve l’orthocentre ?

La position de l’orthocentre dépend du type de triangle considéré.

Selon les cas, il peut se situer à l’intérieur du triangle, à l’extérieur ou sur l’un de ses sommets.

• À l’intérieur du triangle dans un triangle acutangle. Lorsque les trois angles sont inférieurs à 90°, l’orthocentre se trouve à l’intérieur de la figure.
  
• À l’extérieur du triangle dans un triangle obtusangle. Si l’un des angles est supérieur à 90°, l’orthocentre est situé en dehors du triangle.
  
• Sur un sommet dans un triangle rectangle. Dans ce cas, l’orthocentre coïncide avec le sommet qui forme l’angle droit (90°).
  

Démonstration

Montrons maintenant pourquoi les trois hauteurs d’un triangle se coupent toujours en un même point.

Considérons un triangle ABC.

Par chacun de ses sommets, traçons une droite parallèle au côté opposé.

Ces trois droites délimitent un nouveau triangle, noté DEF.

Cette construction fait apparaître plusieurs parallélogrammes :

• AD||BC et AC||DB, ce qui forme le parallélogramme ADBC.
• AF||BC et AB||CF, ce qui forme le parallélogramme ABCF.

Or, dans tout parallélogramme, les côtés opposés sont de même longueur. On obtient donc :

AD≅BC, AB≅DB, AF≅BC et AB≅CF.

Par transitivité, puisque AD≅BC et AF≅BC, on en déduit que :

$$ \overline{AD} \cong \overline{AF} $$

Le point A est donc le milieu du segment DF.

Traçons maintenant la hauteur AG du triangle ABC, issue du sommet A.

Comme DF est parallèle à BC, toute droite perpendiculaire à BC est également perpendiculaire à DF.

La droite portant AG est donc perpendiculaire à DF. Comme elle passe aussi par le milieu A du segment DF, elle est la médiatrice de DF.

La hauteur AG du triangle ABC coïncide ainsi avec la médiatrice du côté DF du triangle DEF.

Appliquons le même raisonnement au sommet B.

Les quadrilatères ADBC et ABEC sont des parallélogrammes. Leurs côtés opposés ont donc la même longueur.

Puisque DB≅AC et BE≅AC, on obtient :

$$ \overline{DB} \cong \overline{BE} $$

Le point B est donc le milieu du segment DE.

Traçons ensuite la hauteur BH du triangle ABC.

Comme AC est parallèle à DE, la droite portant BH est perpendiculaire à DE.

Elle passe également par le milieu du segment DE.

La hauteur BH coïncide donc avec la médiatrice du côté DE du triangle DEF.

Procédons enfin de la même manière avec le sommet C.

Les parallélogrammes ABCF et ABEC permettent d’établir que :

$$ \overline{CF} \cong \overline{CE} $$

Le point C est donc le milieu du segment EF.

Traçons alors la hauteur IC du triangle ABC.

Comme AB est parallèle à EF, la droite portant IC est perpendiculaire à EF.

De plus, elle passe par le milieu du segment EF.

La hauteur IC coïncide donc avec la médiatrice du côté EF du triangle DEF.

Nous avons ainsi montré que les trois hauteurs du triangle ABC sont portées par les trois médiatrices du triangle DEF.

Or les médiatrices d’un triangle sont toujours concourantes en un point unique, appelé centre du cercle circonscrit (voir la démonstration du centre du cercle circonscrit).

Les trois hauteurs du triangle ABC se coupent donc elles aussi en un point unique.

Autrement dit, les hauteurs du triangle ABC jouent dans ce triangle le même rôle que les médiatrices dans le triangle DEF.

Le point commun aux trois hauteurs est appelé orthocentre.

Cette propriété est valable pour tout triangle, qu’il soit acutangle, obtusangle ou rectangle.