L’incentre d’un triangle
L'incentre d'un triangle est le point de rencontre des bissectrices de ses angles intérieurs. Il joue un rôle particulier en géométrie, car il correspond également au centre du cercle inscrit, c'est-à-dire du cercle tangent aux trois côtés du triangle.
La principale propriété de l'incentre (I) est qu'il se trouve à la même distance des trois côtés du triangle.
Cette distance (ID) est égale au rayon du cercle inscrit.
Comme ce cercle est tangent aux trois côtés, il les touche chacun en un unique point sans jamais les couper.
Le rayon du cercle inscrit est également appelé inrayon.
Comment construire l'incentre
Pour trouver l'incentre d'un triangle, il suffit de tracer les bissectrices de ses angles intérieurs.
Une bissectrice est une droite qui partage un angle en deux angles de même mesure.
Le point où ces bissectrices se rencontrent est appelé incentre. Quelle que soit la forme du triangle, ce point se situe toujours à l'intérieur de celui-ci.
On trace ensuite un segment perpendiculaire (ID) depuis l'incentre (I) jusqu'à l'un des côtés du triangle. Dans cet exemple, il s'agit du côté AB.
Ce segment est appelé inrayon. Sa longueur correspond exactement au rayon du cercle inscrit.
Le centre de ce cercle est précisément l'incentre.
Le cercle inscrit possède une propriété remarquable : il est tangent aux trois côtés du triangle.
Démonstration
Considérons un triangle ABC.
Traçons les bissectrices des angles α et β.
La somme des angles intérieurs d'un triangle est toujours égale à 180°.
$$ \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ $$
Par conséquent, la somme des angles α et β est nécessairement inférieure à 180°.
$$ \alpha + \beta < 180^\circ $$
La somme de leurs demi-angles est donc elle aussi inférieure à 180°, ce qui garantit que les deux bissectrices se coupent en un point D.
Depuis le point D, traçons des segments perpendiculaires aux côtés du triangle.
Les segments DE et DF ont la même longueur, car le point D appartient à la bissectrice de l'angle β. Or, tout point situé sur la bissectrice d'un angle est équidistant des côtés qui forment cet angle.
$$ \overline{DE} \cong \overline{DF} $$
De la même manière, les segments DE et DG ont la même longueur puisque le point D appartient à la bissectrice de l'angle α.
$$ \overline{DE} \cong \overline{DG} $$
Par transitivité, si DE ≅ DF et DE ≅ DG, alors DF ≅ DG.
$$ \overline{DF} \cong \overline{DG} $$
Le point D est donc à égale distance des côtés qui délimitent l'angle γ. D'après la réciproque du théorème de la bissectrice, il appartient lui aussi à la bissectrice de cet angle.
Nous obtenons ainsi un résultat important : le point D appartient aux trois bissectrices du triangle. Ces trois droites sont donc concourantes en un même point, appelé incentre.
À retenir
L'incentre possède plusieurs propriétés fondamentales :
- Tout triangle possède un unique cercle inscrit dont le centre est l'incentre.
- L'incentre est équidistant des trois côtés du triangle. Cette distance correspond au rayon du cercle inscrit.
- Sa position dépend de la forme du triangle. Dans un triangle équilatéral, il coïncide avec le centre de gravité, le circoncentre et l'orthocentre.
- L'incentre appartient simultanément aux trois bissectrices des angles du triangle.
- Le cercle inscrit, centré sur l'incentre, est tangent aux trois côtés du triangle.
Ces propriétés font de l'incentre l'un des points remarquables les plus importants de la géométrie du triangle.
