Centre de gravité d’un triangle
Le centre de gravité d'un triangle est le point où se rencontrent ses trois médianes.
Parmi les points remarquables d'un triangle, le centre de gravité occupe une place particulière. Facile à construire et doté de propriétés géométriques intéressantes, il intervient aussi bien en géométrie qu'en mécanique.
Pour comprendre ce qu'est le centre de gravité, il faut d'abord savoir ce qu'est une médiane.
Une médiane est un segment qui relie un sommet au milieu du côté opposé.
Comme un triangle possède trois sommets et trois côtés, il possède également trois médianes.
Les trois médianes AMCB, BMAC et CMAB sont concourantes. Elles se coupent toutes en un même point intérieur du triangle, noté E. Ce point est appelé centre de gravité.
Pourquoi est-il important ? Le centre de gravité correspond au point d'équilibre d'un triangle homogène. Si l'on découpait un triangle dans une plaque de matériau uniforme et qu'on le posait sur un support placé exactement en ce point, il resterait en équilibre. En géométrie, ce point coïncide également avec le barycentre des trois sommets lorsqu'ils sont affectés de coefficients égaux.
Comment construire le centre de gravité d'un triangle ?
Considérons un triangle quelconque ABC.
La première étape consiste à repérer les milieux des côtés du triangle.
Qu'est-ce que le milieu d'un segment ? Le milieu est le point qui partage un segment en deux parties de même longueur. Il est donc situé à égale distance des deux extrémités.
On trace ensuite les trois médianes en reliant chaque sommet au milieu du côté opposé.
Le point d'intersection des trois médianes est le centre de gravité du triangle.
Le centre de gravité partage chaque médiane dans le rapport 2:1
L'une des propriétés les plus importantes du centre de gravité concerne sa position sur chaque médiane.
La partie de la médiane comprise entre le sommet et le centre de gravité est toujours deux fois plus longue que la partie comprise entre le centre de gravité et le milieu du côté opposé.
Autrement dit, le centre de gravité se trouve aux deux tiers de la médiane à partir du sommet.
Démonstration
Considérons à nouveau le triangle ABC.
Soient M et N les milieux de deux côtés du triangle. Traçons les médianes correspondantes.
Ces deux médianes se coupent au point E.
Déterminons maintenant les milieux D et F des segments AE et BE.
Par définition du milieu :
$$ \overline{AD} \cong \overline{ED} $$
$$ \overline{BF} \cong \overline{EF} $$
Traçons ensuite le segment MN.
D'après le théorème des milieux, le segment reliant les milieux de deux côtés d'un triangle est parallèle au troisième côté et mesure la moitié de sa longueur.
On obtient donc :
$$ \overline{MN} \parallel \overline{AB} $$
$$ \overline{MN} \cong \frac{1}{2}\,\overline{AB} $$
Traçons maintenant le segment DF reliant les milieux D et F dans le triangle ABE.
En appliquant une nouvelle fois le théorème des milieux :
$$ \overline{DF} \parallel \overline{AB} $$
$$ \overline{DF} \cong \frac{1}{2}\,\overline{AB} $$
Les segments DF et MN sont donc parallèles et de même longueur.
$$ \overline{DF} \cong \overline{MN} $$
Le quadrilatère DFMN est alors un parallélogramme.
Or, les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu. On en déduit que :
$$ \overline{EN} \cong \overline{EF} $$
$$ \overline{ED} \cong \overline{EM} $$
Comme :
$$ \overline{ED} \cong \overline{AD} $$
$$ \overline{EF} \cong \overline{BF} $$
on obtient, par transitivité :
$$ \overline{EN} \cong \overline{EF} \cong \overline{BF} $$
$$ \overline{EM} \cong \overline{ED} \cong \overline{AD} $$
La configuration géométrique est illustrée ci-dessous :
On en déduit que :
$$ \overline{AE} = 2\,\overline{EM} $$
et que :
$$ \overline{BE} = 2\,\overline{EN} $$
Le centre de gravité partage donc chaque médiane en deux segments dont les longueurs sont dans le rapport 2:1.
Cette propriété est valable pour chacune des trois médianes du triangle.
Le centre de gravité en géométrie analytique
Dans un repère cartésien, les coordonnées du centre de gravité \(G(x,y)\) d'un triangle de sommets \(A(x_1,y_1)\), \(B(x_2,y_2)\) et \(C(x_3,y_3)\) se calculent à l'aide des formules suivantes : $$ x = \frac{x_1+x_2+x_3}{3} $$ $$ y = \frac{y_1+y_2+y_3}{3} $$
Cette méthode permet de déterminer directement la position du centre de gravité à partir des coordonnées des trois sommets du triangle.
En pratique, il suffit de calculer la moyenne des abscisses et la moyenne des ordonnées des sommets.
Le centre de gravité occupe ainsi une position moyenne dans le plan, ce qui explique son rôle central en géométrie analytique.
Exemple
Considérons le triangle ABC représenté ci-dessous.
Les coordonnées de ses sommets sont :
$$ A(x_1,y_1)=(1,1) $$
$$ B(x_2,y_2)=(7,1) $$
$$ C(x_3,y_3)=(3,5) $$
Pour déterminer les coordonnées du centre de gravité \(G(x,y)\), appliquons les formules :
$$ \begin{cases} x = \frac{x_1+x_2+x_3}{3} \\ \\ y = \frac{y_1+y_2+y_3}{3} \end{cases} $$
En remplaçant les coordonnées des sommets :
$$ \begin{cases} x = \frac{1+7+3}{3} \\ \\ y = \frac{1+1+5}{3} \end{cases} $$
$$ \begin{cases} x = \frac{11}{3} \\ \\ y = \frac{7}{3} \end{cases} $$
$$ \begin{cases} x \approx 3{,}67 \\ \\ y \approx 2{,}33 \end{cases} $$
Le centre de gravité du triangle est donc le point :
$$ G\left(\frac{11}{3},\frac{7}{3}\right) $$
soit, en valeurs approchées :
$$ G(3{,}67\,;\,2{,}33) $$
Démonstration
Voyons maintenant pourquoi les coordonnées du centre de gravité sont données par ces formules.
Considérons un triangle ABC et notons G son centre de gravité.
Par définition, le centre de gravité est le point où se coupent les trois médianes du triangle.
Rappelons également qu'il partage chaque médiane dans le rapport 2:1 : la portion comprise entre le sommet et le centre de gravité est deux fois plus longue que celle comprise entre le centre de gravité et le milieu du côté opposé.
Considérons la médiane AMBC. On a alors :
$$ \overline{AG}=2\cdot\overline{GM}_{BC} $$
Projetons maintenant les points A, G et MBC sur l'axe des abscisses.
Le segment A'M' représente la projection de la médiane AMBC sur l'axe des abscisses.
Les droites de projection sont parallèles et coupent les segments AMBC et A'M'.
D'après le théorème de Thalès, les rapports de longueur sont conservés lors de cette projection.
Puisque le segment AG est le double du segment GMBC, il en est de même pour leurs projections :
$$ \overline{A'G'}=2\cdot\overline{G'M'} $$
Exprimons ces longueurs à l'aide des coordonnées :
$$ \overline{A'G'}=x_G-x_A $$
$$ \overline{G'M'}=x_M-x_G $$
En remplaçant dans l'égalité précédente :
$$ x_G-x_A=2(x_M-x_G) $$
$$ x_G-x_A=2x_M-2x_G $$
$$ x_G+2x_G=2x_M+x_A $$
$$ 3x_G=2x_M+x_A $$
$$ x_G=\frac{2x_M+x_A}{3} $$
Comme MBC est le milieu du segment BC :
$$ x_M=\frac{x_B+x_C}{2} $$
En substituant cette expression :
$$ x_G=\frac{2\cdot\frac{x_B+x_C}{2}+x_A}{3} $$
$$ x_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3} $$
Nous obtenons ainsi la formule de l'abscisse du centre de gravité.
Le raisonnement est exactement le même pour l'ordonnée.
Projetons les points A, G et MBC sur l'axe des ordonnées.
Le rapport 2:1 est conservé sur les segments projetés :
$$ \overline{A'G'}=2\cdot\overline{G'M'} $$
Les longueurs correspondantes sont :
$$ \overline{A'G'}=y_G-y_A $$
$$ \overline{G'M'}=y_M-y_G $$
On obtient alors :
$$ y_G-y_A=2(y_M-y_G) $$
$$ y_G-y_A=2y_M-2y_G $$
$$ y_G+2y_G=y_A+2y_M $$
$$ 3y_G=y_A+2y_M $$
$$ y_G=\frac{y_A+2y_M}{3} $$
Or, puisque MBC est le milieu de BC :
$$ y_M=\frac{y_B+y_C}{2} $$
En remplaçant :
$$ y_G=\frac{y_A+2\cdot\frac{y_B+y_C}{2}}{3} $$
$$ y_G=\frac{y_A+y_B+y_C}{3} $$
Nous retrouvons ainsi la formule de l'ordonnée du centre de gravité.
Remarques
Le centre de gravité possède plusieurs propriétés importantes.
- Le centre de gravité est toujours situé à l'intérieur du triangle.
- Les trois médianes sont concourantes en un point unique
Le centre de gravité est l'unique point qui partage simultanément les trois médianes dans le rapport 2:1. Cette propriété garantit l'existence et l'unicité du point de concours des médianes.
- Le centre de gravité est le point d'équilibre du triangle
Pour un triangle homogène, il correspond au centre de masse. Si l'on place le triangle sur un support situé exactement en ce point, il reste en équilibre.Remarque. La détermination du centre de gravité joue un rôle important en géométrie, en statique et dans l'étude des structures mécaniques.
- Une translation, une rotation ou toute autre isométrie conserve la position relative du centre de gravité à l'intérieur du triangle. Celui-ci accompagne donc la figure dans tous ses déplacements sans modifier ses propriétés géométriques.
- Dans un triangle équilatéral, le centre de gravité coïncide avec l'incentre, le centre du cercle circonscrit et l'orthocentre.
