Relation entre la longueur du côté d’un triangle équilatéral et le rayon du cercle circonscrit

Dans un triangle équilatéral, la longueur de chaque côté est égale au rayon du cercle circonscrit multiplié par la racine carrée de trois. Cette relation s'écrit : $$ l = r \cdot \sqrt{3} $$

Exemple d'application

Considérons un triangle équilatéral ABC inscrit dans un cercle de centre O et de rayon \( r \).

Supposons que le rayon du cercle soit égal à \( r = 2.3094 \).

Pour déterminer la longueur d'un côté du triangle, il suffit d'appliquer la formule :

$$ l = r \cdot \sqrt{3} $$

$$ l = 2.3094 \cdot \sqrt{3} = 4 $$

Chaque côté du triangle équilatéral mesure donc 4 unités de longueur.

Démonstration

Pour démontrer cette propriété, partons d'un hexagone régulier inscrit dans un cercle de centre O et de rayon \( r \).

Sélectionnons trois sommets non consécutifs, par exemple A, E et C, puis relions-les. Nous obtenons alors le triangle AEC au centre de la figure, entouré des trois triangles ABC, AEF et CDE.

Les trois triangles périphériques sont isométriques d'après le premier critère d'égalité des triangles. En effet, ils possèdent deux côtés de même longueur et l'angle compris entre ces côtés mesure 120°.

Leurs côtés correspondants sont donc égaux.

Remarque : Dans un hexagone régulier, tous les côtés sont de même longueur et chacun des angles intérieurs mesure 120°.

Le triangle AEC possède alors trois côtés égaux. Il s'agit donc d'un triangle équilatéral.

Nous allons maintenant calculer la longueur de l'un de ses côtés.

Traçons le segment CF, qui correspond à un diamètre du cercle. On a alors :

$$ d = 2r $$

Considérons ensuite le triangle ECF, qui partage le côté EC avec le triangle équilatéral AEC.

L'angle situé au sommet E est un angle droit, car il s'agit d'un angle inscrit qui intercepte un diamètre.

Le triangle ECF est donc un triangle rectangle. Nous pouvons alors utiliser le théorème de Pythagore :

$$ \overline{EC} = \sqrt{ \overline{FC}^2 - \overline{EF}^2 } $$

Comme FC est le diamètre du cercle, on remplace \( \overline{FC} \) par \( 2r \) :

$$ \overline{EC} = \sqrt{ (2r)^2 - \overline{EF}^2 } $$

Le segment EF est un côté de l'hexagone régulier.

Or, dans un hexagone régulier inscrit dans un cercle, la longueur de chaque côté est égale au rayon du cercle circonscrit. On peut donc écrire :

$$ \overline{EF} = r $$

En remplaçant EF par r, on obtient :

$$ \overline{EC} = \sqrt{ (2r)^2 - r^2 } $$

Effectuons maintenant les calculs :

$$ \overline{EC} = \sqrt{ 4r^2 - r^2 } $$

$$ \overline{EC} = \sqrt{ 3r^2 } $$

$$ \overline{EC} = r \sqrt{3} $$

Le segment EC est l'un des côtés du triangle équilatéral AEC. Les trois côtés de ce triangle étant égaux, nous obtenons finalement :

$$ l = r \sqrt{3} $$

Nous avons ainsi démontré que la longueur du côté d'un triangle équilatéral est égale au rayon de son cercle circonscrit multiplié par la racine carrée de trois.