Le Rectangle d'Or
Le rectangle d'or est un rectangle dont le rapport entre la longueur et la largeur est égal au nombre d'or, soit environ 1,618. Cette proportion particulière lui confère des propriétés géométriques uniques et explique pourquoi il occupe une place importante aussi bien en mathématiques que dans l'histoire de l'art, de l'architecture et du design. $$ \frac{ \text{longueur} }{ \text{largeur} } \approx 1{,}618 $$
Ce rapport est également appelé la proportion dorée.
Le nombre d'or, noté par la lettre grecque \(\phi\), est un nombre irrationnel défini par la formule suivante :
$$ \phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618033988749895 $$
Un exemple de rectangle d'or
Le rectangle représenté ci-dessous est un rectangle d'or. Le rapport entre sa longueur, représentée par le segment AB, et sa largeur, représentée par le segment AD, est très proche du nombre d'or.
$$ \frac{ \overline{AB} }{ \overline{AD} } = \frac{3{,}236}{2} = 1{,}618 $$
La propriété fondamentale du rectangle d'or
La propriété la plus remarquable du rectangle d'or est son autosimilarité. Si l'on retire un carré dont le côté est égal à la largeur du rectangle, le rectangle restant est encore un rectangle d'or. Autrement dit, il conserve exactement les mêmes proportions que le rectangle initial.
Dans l'exemple suivant, le rectangle BCFE est lui aussi un rectangle d'or.
Le rapport entre sa longueur, égale à 2, et sa largeur, égale à 1,236, reste pratiquement égal au nombre d'or.
$$ \frac{ \overline{BC} }{ \overline{EB} } = \frac{2}{1{,}236} \approx 1{,}618 $$
Une construction qui peut se poursuivre à l'infini
Cette opération peut être répétée autant de fois que l'on souhaite. À chaque étape, on obtient un nouveau rectangle d'or, plus petit que le précédent, mais possédant exactement les mêmes proportions.
La spirale dorée
En traçant, dans chacun des carrés, un quart de cercle reliant deux sommets successifs, on obtient une courbe connue sous le nom de spirale dorée. Il s'agit en réalité d'une excellente approximation géométrique de cette spirale.
Cette construction évoque les formes spiralées que l'on observe dans certains coquillages, dans diverses structures végétales et dans d'autres phénomènes naturels. Même si ces formes ne correspondent pas toujours exactement au nombre d'or, elles présentent souvent une croissance comparable. La proportion dorée a également inspiré de nombreux artistes, architectes et designers au fil des siècles.
Remarque. Le rectangle d'or est étudié en géométrie pour ses propriétés mathématiques, mais aussi en histoire de l'art et de l'architecture pour son influence esthétique. Il est toutefois important de distinguer les usages réellement attestés de la proportion dorée des interprétations qui lui attribuent, sans preuve historique, un rôle systématique dans les œuvres célèbres.
Le même principe peut être répété indéfiniment, ce qui explique pourquoi le rectangle d'or est souvent associé à la notion d'infini et aux constructions géométriques récursives.
