Le nombre d'or
Le nombre d'or est un nombre irrationnel positif défini par la formule suivante : $$ \phi=\frac{1+\sqrt5}{2}\approx1.6180339887... $$
Il est traditionnellement représenté par la lettre grecque φ (phi).
Le nombre d'or est l'une des constantes mathématiques les plus célèbres. Il intervient dans de nombreuses propriétés géométriques et entretient un lien étroit avec la suite de Fibonacci. Au fil des siècles, il a également suscité un vif intérêt dans les domaines de l'art, de l'architecture et de l'esthétique, où il est souvent associé à l'idée de proportions harmonieuses.
Remarque. Depuis l'Antiquité, les proportions fondées sur le nombre d'or sont considérées comme particulièrement harmonieuses. Cette réputation a favorisé leur utilisation dans de nombreux domaines, notamment la peinture, la sculpture et l'architecture. Le Parthénon d'Athènes est souvent cité parmi les monuments qui feraient intervenir des proportions proches du nombre d'or, tout comme plusieurs œuvres de la Renaissance. Toutefois, ces interprétations restent discutées, car elles reposent parfois sur des mesures établies a posteriori. De la même manière, le nombre d'or est fréquemment associé à certains phénomènes naturels, comme la spirale de la coquille du nautile, même si plusieurs de ces rapprochements sont aujourd'hui considérés comme approximatifs ou exagérés.
Comment obtient-on le nombre d'or ?
Le nombre d'or est défini à partir de deux segments positifs \(a\) et \(b\), avec \(a > b\), de telle sorte que le rapport entre la longueur totale (\(a+b\)) et le plus grand segment (\(a\)) soit identique au rapport entre le plus grand segment (\(a\)) et le plus petit (\(b\)). Cette construction est connue en géométrie sous le nom de division en extrême et moyenne raison.
Mathématiquement, cette relation s'écrit :
$$ \frac{a+b}{a}=\frac{a}{b}=\phi $$
Elle conduit directement à la valeur exacte du nombre d'or :
$$ \phi=\frac{1+\sqrt5}{2}\approx1.6180339887... $$
Démonstration
Voyons pourquoi le rapport entre le plus grand segment \(a\) et le plus petit segment \(b\) est égal à environ 1,618.
On part de la relation fondamentale :
$$ \frac{a+b}{a}=\frac{a}{b}=\phi $$
Le rapport entre la longueur totale (\(a+b\)) et le plus grand segment (\(a\)) est donc égal à \(\phi\) :
$$ \frac{a+b}{a}=\phi $$
Le rapport entre le plus grand segment \(a\) et le plus petit segment \(b\) est lui aussi égal à \(\phi\) :
$$ \phi=\frac{a}{b} $$
On peut alors exprimer \(b\) en fonction de \(a\) :
$$ b=\frac{a}{\phi} $$
En remplaçant cette expression dans la première égalité, on obtient :
$$ \frac{a+\frac{a}{\phi}}{a}=\phi $$
En simplifiant :
$$ 1+\frac{1}{\phi}=\phi $$
Ce qui donne :
$$ \frac{1}{\phi}=\phi-1 $$
En multipliant les deux membres par \(\phi\), on obtient :
$$ 1=\phi^2-\phi $$
En regroupant tous les termes dans le même membre :
$$ \phi^2-\phi-1=0 $$
Il s'agit d'une équation du second degré, qui se résout à l'aide de la formule générale :
$$ x=\frac{-B\pm\sqrt{B^2-4AC}}{2A} $$
Dans ce cas, les coefficients sont \(A=1\), \(B=-1\) et \(C=-1\). En les remplaçant dans la formule, on obtient :
$$ \phi=\frac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot1\cdot(-1)}}{2\cdot1} $$
En simplifiant :
$$ \phi=\frac{1\pm\sqrt{1+4}}{2} $$
Puis :
$$ \phi=\frac{1\pm\sqrt5}{2} $$
Les deux solutions sont donc :
$$ \phi_1=\frac{1+\sqrt5}{2}\qquad\text{et}\qquad\phi_2=\frac{1-\sqrt5}{2} $$
Le nombre d'or étant le rapport de deux longueurs positives, seule la solution positive est retenue :
$$ \phi=\frac{1+\sqrt5}{2}\approx1.6180339887... $$
Cette démonstration montre que la définition géométrique du nombre d'or conduit naturellement à une équation du second degré dont la solution positive est précisément \(\frac{1+\sqrt5}{2}\).
Relation avec la suite de Fibonacci
Le nombre d'or est étroitement lié à la suite de Fibonacci, dans laquelle chaque terme est obtenu en additionnant les deux termes précédents.
$$ F_0=0,\quad F_1=1,\quad F_{n+2}=F_{n+1}+F_n $$
Les premiers termes de cette suite sont :
$$ (F_n)=0,\;1,\;1,\;2,\;3,\;5,\;8,\;13,\;21,\;34,\;\ldots $$
Lorsque l'on calcule le quotient de deux termes consécutifs, on constate qu'il se rapproche progressivement du nombre d'or :
$$ \lim_{n\to\infty}\frac{F_{n+1}}{F_n}=\phi $$
Voici les premiers rapports :
$$ \frac11,\;\frac21,\;\frac32,\;\frac53,\;\frac85,\;\frac{13}8,\;\frac{21}{13},\;\frac{34}{21},\;\ldots $$
Leurs valeurs décimales sont :
$$ 1,\;2,\;1.5,\;1.666\ldots,\;1.6,\;1.625,\;1.615\ldots,\;1.619\ldots,\;\ldots $$
On observe que ces quotients oscillent de part et d'autre de \(\phi\) tout en convergeant progressivement vers cette valeur.
Propriétés géométriques
Le nombre d'or apparaît naturellement dans plusieurs figures géométriques remarquables.
- Le rapport entre la diagonale et le côté d'un pentagone régulier est égal au nombre d'or
Dans tout pentagone régulier, le rapport entre la longueur d'une diagonale AC et celle d'un côté AB est exactement égal à \(\phi\), soit environ 1,618.
- Le rapport entre le rayon d'un cercle et le côté d'un décagone régulier inscrit est égal au nombre d'or
Dans un décagone régulier inscrit dans un cercle, la longueur du côté correspond à la section dorée du rayon. Dans l'exemple illustré, le rapport entre le rayon du cercle (3.2361) et le côté du décagone (2) est égal au nombre d'or.
