Le côté d'un décagone régulier est la section d'or du rayon de son cercle circonscrit
Dans un décagone régulier, le côté est la section d'or du rayon du cercle circonscrit. Cette propriété s'exprime par la proportion suivante : $$ r : l = l : (r - l) $$ 
Autrement dit, le rapport entre le rayon du cercle circonscrit et la longueur d'un côté d'un décagone régulier est égal au nombre d'or, soit environ 1,618...
Exemple
Prenons un décagone régulier dont le côté mesure 1 unité.
Le rayon de son cercle circonscrit mesure alors 1,618... unité. Sa longueur est donc numériquement égale au nombre d'or.
Le segment AK a la même longueur que le côté AB. Il mesure donc lui aussi 1 unité.
Vérifions que la proportion caractéristique de la section d'or est bien respectée :
$$ \overline{OA} : \overline{AK} = \overline{AK} : \overline{OK} $$
Nous savons que :
$$ \overline{OA} = 1.618 \qquad \overline{AK} = 1 $$
En remplaçant ces valeurs dans la proportion, on obtient :
$$ 1.618 : 1 = 1 : \overline{OK} $$
Le segment OK est égal à la différence entre OA et AK :
$$ \overline{OK} = 1.618 - 1 $$
$$ \overline{OK} = 0.618 $$
La proportion devient alors :
$$ 1.618 : 1 = 1 : 0.618 $$
En calculant les deux rapports, on obtient la même valeur, à l'arrondi près :
$$ 1.618 \approx 1.618 $$
La propriété est donc vérifiée : le côté AB est bien la section d'or du rayon OA du cercle circonscrit.
Démonstration
Construisons un décagone régulier, c'est-à-dire un polygone à dix côtés de même longueur et à dix angles égaux.
Tout polygone régulier peut être inscrit dans un cercle.
Déterminons son centre O, puis traçons le cercle circonscrit de rayon r.
En reliant le centre O à chacun des sommets, le décagone est partagé en dix triangles isométriques. Chacun possède deux côtés égaux au rayon du cercle et un troisième côté correspondant à un côté du décagone. Les triangles sont donc isométriques selon le critère côté-côté-côté.
$$ ABO \cong BCO \cong CDO \cong ... $$
L'angle au centre de chacun de ces triangles vaut 36°, puisque le tour complet de 360° est partagé en dix angles égaux.
$$ \frac{360°}{10} = 36° $$
Étudions maintenant le triangle ABO. Les dix triangles étant isométriques, toute démonstration réalisée sur l'un d'eux est valable pour les autres.
Le triangle ABO est un triangle isocèle, car les côtés AO et BO sont deux rayons du même cercle :
$$ AO \cong BO $$
Les deux angles à la base sont donc égaux :
$$ \alpha = \beta $$
La somme des angles d'un triangle est égale à 180° :
$$ \alpha + \beta + 36° = 180° $$
On en déduit :
$$ \alpha + \beta = 180° - 36° $$
$$ \alpha + \beta = 144° $$
Comme les deux angles sont égaux :
$$ \alpha = \beta = \frac{144°}{2} = 72° $$
Traçons ensuite la bissectrice de l'angle ABO. Elle partage l'angle de 72° en deux angles de 36°.
Dans le triangle BOE, deux angles mesurent 36°. Ce triangle est donc isocèle, ce qui implique :
$$ OE \cong BE $$
Examinons ensuite le triangle ABE. Deux de ses angles sont connus : 72° et 36°. Le troisième vaut donc :
$$ \widehat{AEB} = 180° - 72° - 36° $$
$$ \widehat{AEB} = 72° $$
Le triangle ABE est lui aussi isocèle. On obtient donc :
$$ AB \cong BE $$
Comme :
$$ AB \cong BE \qquad \text{et} \qquad BE \cong OE $$
on en déduit :
$$ AB \cong OE $$
Les triangles ABO et ABE sont semblables, car ils possèdent deux angles respectivement égaux. D'après le critère angle-angle de similitude :
$$ ABO \sim ABE $$
Les côtés homologues sont donc proportionnels :
$$ \overline{OB} : \overline{AB} = \overline{AB} : \overline{EA} $$
En remplaçant les segments par leurs expressions géométriques :
$$ r : l = l : \overline{EA} $$
Or :
$$ \overline{EA} = \overline{OA} - \overline{OE} $$
Comme OA = r et OE = AB = l :
$$ \overline{EA} = r - l $$
La proportion devient alors :
$$ r : l = l : (r - l) $$
Cette relation montre que le rayon du cercle circonscrit est au côté du décagone ce que ce côté est à la différence entre le rayon et lui-même.
Le côté du décagone est donc la section d'or du rayon du cercle circonscrit.
La démonstration est ainsi complète.
