Premier critère de similitude des triangles
Deux triangles sont semblables lorsqu'ils possèdent deux angles correspondants de même mesure.
Le premier critère de similitude est l'un des outils les plus simples pour déterminer si deux triangles ont la même forme. Il suffit de vérifier que deux angles correspondants sont égaux.
Pourquoi cela suffit-il ? Parce que dans tout triangle, la somme des angles intérieurs est toujours égale à 180 degrés.
$$ \alpha + \beta + \gamma = 180° $$
Ainsi, lorsque deux paires d'angles correspondants ont la même mesure, la troisième paire d'angles est automatiquement égale elle aussi.
Les deux triangles ont donc exactement la même forme, même si l'un est plus grand ou plus petit que l'autre. On dit alors qu'ils sont semblables.
$$ ABC \approx A'B'C' $$
Ce résultat est généralement connu sous le nom de critère AA de similitude des triangles (Angle-Angle), car deux angles correspondants de même mesure suffisent à établir la similitude.
Exemple d'application
Considérons les triangles ABC et A'B'C'.
Les angles correspondants α et α' mesurent chacun 96°, tandis que les angles β et β' mesurent chacun 21°.
Comme la somme des angles d'un triangle vaut toujours 180°, nous pouvons calculer les angles restants :
$$ \alpha + \beta + \gamma = 180° $$
$$ \alpha ' + \beta ' + \gamma ' = 180° $$
D'où :
$$ \gamma = 180° - \alpha - \beta $$
$$ \gamma ' = 180° - \alpha ' - \beta ' $$
En remplaçant par les valeurs connues :
$$ \gamma = 180° - 96° - 21° $$
$$ \gamma ' = 180° - 96° - 21° $$
On obtient alors :
$$ \gamma = 63° $$
$$ \gamma ' = 63° $$
Les trois paires d'angles correspondants sont donc de même mesure :
α = α' = 96°
β = β' = 21°
γ = γ' = 63°
Les triangles ABC et A'B'C' sont donc semblables.
Démonstration du critère de similitude
Montrons maintenant pourquoi ce critère est toujours valable.
Considérons les triangles ABC et A'B'C'.
Supposons que deux paires d'angles correspondants soient égales :
$$ \alpha = \alpha ' $$
$$ \beta = \beta ' $$
Nous devons démontrer que les triangles ABC et A'B'C' sont semblables.
Pour cela, examinons les côtés AB et A'B', situés entre les angles correspondants.
Premier cas : les côtés AB et A'B' ont la même longueur
Si les segments AB et A'B' ont la même longueur, alors les triangles ABC et A'B'C' sont isométriques d'après le deuxième critère de congruence des triangles.
Or, deux triangles isométriques sont nécessairement semblables. Leur rapport de similitude est alors égal à 1.
La similitude est donc établie dans ce premier cas.
Deuxième cas : les côtés AB et A'B' n'ont pas la même longueur
Supposons maintenant que les deux segments aient des longueurs différentes.
On définit le rapport de similitude :
$$ k = \frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} $$
On applique ensuite au triangle ABC une homothétie de centre C et de rapport \( k = \frac{A'B'}{AB} \).
Par construction :
$$ A'B' = k \cdot AB $$
$$ A''B'' = k \cdot AB $$
Par conséquent :
$$ \overline{A''B''} \cong \overline{A'B'} $$
L'homothétie conserve également le parallélisme. Les droites A"B" et AB sont donc parallèles.
$$ \overline{A''B''} \ || \ \overline{AB} $$
Les propriétés des droites parallèles permettent alors d'affirmer que :
$$ \alpha = \alpha '' $$
$$ \beta = \beta '' $$
Comme nous savons déjà que :
$$ \alpha = \alpha ' $$
$$ \beta = \beta ' $$
on en déduit immédiatement :
$$ \alpha ' = \alpha '' $$
$$ \beta ' = \beta '' $$
Les triangles A"B"C et A'B'C' possèdent donc un côté correspondant de même longueur compris entre deux angles correspondants de même mesure. Ils sont alors isométriques.
Le triangle A'B'C' est ainsi isométrique à un triangle obtenu par homothétie à partir de ABC. Les triangles ABC et A'B'C' sont donc semblables.
Conclusion
Le premier critère de similitude repose sur une idée très simple : deux angles correspondants de même mesure suffisent pour garantir que deux triangles ont la même forme.
Que les côtés correspondants aient la même longueur ou non, les triangles restent semblables dès lors que deux de leurs angles correspondants sont égaux.
C'est pourquoi le critère AA constitue l'un des critères de similitude les plus utilisés en géométrie.
