La similitude

Une similitude est une transformation géométrique qui conserve la forme d'une figure. Les angles restent inchangés et toutes les longueurs sont multipliées par un même nombre réel strictement positif $ k $. Toute similitude peut s'obtenir en composant une homothétie avec une isométrie.

Cette transformation est appelée similitude et se note généralement à l'aide de la lettre grecque sigma minuscule, $ \sigma $.

La similitude est une transformation géométrique qui préserve la forme de la figure d'origine, même lorsque sa taille change.

Autrement dit, deux figures sont semblables lorsque l'une peut être obtenue à partir de l'autre par une similitude. Pour cela, deux conditions doivent être réunies :

1. Les angles correspondants ont la même mesure.
2. Les longueurs des côtés correspondants sont proportionnelles selon un même rapport $ k $.

Deux figures semblables ont donc la même forme, mais leurs dimensions peuvent être différentes.

La relation de similitude entre deux figures est généralement notée à l'aide du symbole "$\sim$".

Par exemple, si les triangles ABC et A'B'C' sont semblables, on écrit :

$$ ABC \sim A'B'C' $$

Les éléments associés dans les deux figures sont appelés côtés correspondants et angles correspondants.

Remarque. Dans deux triangles semblables, les côtés correspondants sont toujours opposés à des angles de même mesure. En pratique, deux côtés sont correspondants lorsqu'ils font face à deux angles correspondants.

Le rapport constant $ k $ entre les longueurs correspondantes est appelé rapport de similitude ou facteur d'échelle.

Les grandeurs qui restent inchangées lors d'une similitude sont appelées invariants. Il s'agit notamment des mesures des angles et des rapports entre les longueurs correspondantes.

• Les rapports entre les longueurs sont conservés.
• Les mesures des angles restent identiques.
• Le parallélisme et la perpendicularité sont également préservés.

En particulier, si deux côtés de la figure initiale sont parallèles, leurs images restent parallèles après la transformation (affinité).

L'agrandissement d'une photographie est un exemple simple de similitude. L'image agrandie conserve exactement la même forme que l'original, seule son échelle change.

La notion de similitude s'applique également à la géométrie dans l'espace. Deux solides sont semblables lorsque leurs angles correspondants ont la même mesure et que toutes leurs longueurs correspondantes sont proportionnelles selon un même rapport $ k $.

Le rapport de similitude

Lorsque deux figures sont semblables, les longueurs de leurs côtés correspondants sont liées par une même constante de proportionnalité. Cette constante est appelée rapport de similitude ou facteur d'échelle. Elle est toujours strictement positive ( $ k > 0 $ ).

• Agrandissement (k>1)
  Si le rapport de similitude est supérieur à 1, la figure obtenue est un agrandissement.

  
  Par exemple, si $ k=2 $, toutes les longueurs sont doublées. Chaque côté de la nouvelle figure mesure deux fois la longueur du côté correspondant de la figure initiale.

• Isométrie (k=1)
  Lorsque $ k=1 $, les longueurs sont conservées. La similitude est alors une isométrie, comme une rotation, une translation ou une symétrie axiale.
  
• Réduction (0<k<1)
  Si le rapport est compris entre 0 et 1, la figure obtenue est une réduction.
  

  Par exemple, si $ k=0.5 $, toutes les longueurs sont divisées par deux. Chaque côté de la nouvelle figure mesure la moitié du côté correspondant de la figure initiale.

Quelle que soit la valeur de $ k $, deux figures semblables conservent toujours la même forme.

Polygones semblables

Deux polygones sont dits semblables lorsque leurs angles correspondants ont la même mesure et que leurs côtés correspondants sont proportionnels selon un même rapport.

Tous les polygones réguliers ayant le même nombre de côtés sont semblables entre eux. De même, tous les cercles sont naturellement semblables.

Critères de similitude des triangles

Pour démontrer que deux triangles sont semblables, on utilise l'un des trois critères suivants.

• Critère AA (Angle-Angle)
  Deux triangles sont semblables si deux angles de l'un sont respectivement égaux à deux angles de l'autre.
  

  Remarque. En pratique, il suffit de vérifier l'égalité de deux angles correspondants. Le troisième est automatiquement égal, puisque la somme des angles d'un triangle est toujours égale à 180 degrés.

• Critère CAC (Côté-Angle-Côté)
  Deux triangles sont semblables si deux côtés correspondants sont proportionnels et si l'angle compris entre ces deux côtés est de même mesure.
  
• Critère CCC (Côté-Côté-Côté)
  Deux triangles sont semblables si les longueurs de leurs trois côtés correspondants sont proportionnelles selon un même rapport.
  

Équations de la similitude

Dans le plan cartésien, une similitude peut être décrite par un système d'équations matricielles. Cette écriture montre précisément comment la transformation agit sur les coordonnées de chaque point.

$$ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = M \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix} $$

La forme de la matrice \(M\) dépend du type de similitude considéré.

• Similitude directe $$ M = \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} $$
• Similitude inverse $$ M = \begin{pmatrix} a & b \\ b & -a \end{pmatrix} $$

Ces deux matrices permettent de distinguer les similitudes directes des similitudes inverses. Dans les deux cas, le rapport de similitude \(k\) est donné par :

$$ k = \sqrt{a^2+b^2} $$

Une similitude peut également être exprimée à l'aide de formules trigonométriques. Cette approche met en évidence la richesse des outils utilisés pour étudier ce type de transformation en géométrie.

Exemple

Étudions une transformation géométrique appliquée à un triangle du plan. Nous déterminerons sa nature, puis nous verrons comment elle modifie les longueurs et l'orientation de la figure.

Considérons la transformation suivante :

\[ \tau:\; \begin{cases} x' = 2x + y + 1 \\ \\ y' = x - 2y - 1 \end{cases} \]

Sa partie linéaire est représentée par la matrice :

\[ A= \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & -2 \end{pmatrix} \]

Cette matrice est de la forme \(\begin{pmatrix} a & b \\ b & -a \end{pmatrix}\), avec \(a=2\) et \(b=1\). Il s'agit donc d'une similitude inverse. Une telle transformation conserve les angles et les proportions, mais inverse l'orientation de la figure.

Calculons tout d'abord son déterminant :

\[ \det A = (2)(-2) - (1)(1) = -5 \]

Le déterminant est négatif, ce qui confirme l'inversion de l'orientation. Calculons ensuite le rapport de similitude :

\[ k=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5} \]

La transformation multiplie donc toutes les longueurs par \(\sqrt{5}\).

Appliquons maintenant \(\tau\) au triangle rectangle isocèle \(OAB\), dont les sommets sont \(O(0,0)\), \(A(1,0)\) et \(B(0,1)\).

Déterminons les images des trois sommets en remplaçant leurs coordonnées dans le système :

• Point \(O\) : \(O'(1,-1)\)
• Point \(A\) : \(A'(3,0)\)
• Point \(B\) : \(B'(2,-3)\)

Par exemple, pour le point \(O\), le calcul est le suivant :

\[ x' = 2\cdot 0 + 0 + 1 = 1,\qquad y' = 0 - 2\cdot 0 - 1 = -1 \]

Le triangle image \(O'A'B'\) a donc pour sommets \(O'(1,-1)\), \(A'(3,0)\) et \(B'(2,-3)\).

Avant la transformation, les longueurs des côtés étaient :

• \(\overline{OA}=1\)
• \(\overline{OB}=1\)
• \(\overline{AB}=\sqrt{2}\)

Après application de la similitude, toutes les longueurs sont multipliées par \(\sqrt{5}\) :

• \( O'A' = \sqrt{5}\)
• \( O'B' = \sqrt{5}\)
• \( A'B' = \sqrt{10}\)

La figure obtenue conserve exactement la même forme que le triangle d'origine. Seules son échelle et son orientation changent. Le triangle image reste donc rectangle et isocèle.

Similitude dans l'espace

La similitude dans l'espace se définit selon le même principe que la similitude dans le plan.

Il s'agit d'une transformation géométrique obtenue par la composition d'une isométrie, qui conserve les distances (translation, rotation ou symétrie), et d'une dilatation, qui agrandit ou réduit un solide tout en préservant sa forme.

Les principales propriétés de la similitude dans l'espace

Une similitude dans l'espace possède les caractéristiques suivantes :

• Elle conserve les angles entre les éléments géométriques.
• Elle transforme chaque segment en un segment proportionnel, selon un rapport de similitude constant.
• Le rapport de similitude est égal au facteur de dilatation et détermine l'échelle de la transformation.

Quelques exemples de similitude dans l'espace

Si une structure est agrandie avec un rapport de similitude \( k = 2 \), toutes ses dimensions, longueur, hauteur et profondeur, sont multipliées par deux par rapport à la structure d'origine.

À l'inverse, si un solide est transformé avec un rapport de similitude \( k = \frac{1}{2} \), toutes ses arêtes sont divisées par deux. Sa taille change, mais sa forme reste exactement la même.

Remarques

La similitude possède plusieurs propriétés essentielles qui permettent de mieux comprendre son fonctionnement et son rôle en géométrie.

• Toute similitude est la composition d'une homothétie et d'une isométrie
  Dans le plan, toute similitude peut s'écrire comme la composition d'une homothétie et d'une isométrie, qu'il s'agisse d'une translation, d'une rotation, d'une symétrie axiale, d'une symétrie centrale ou encore de l'identité. L'ordre dans lequel ces deux transformations sont composées n'a pas d'importance. L'exemple ci-dessous montre comment elles agissent ensemble pour produire une similitude.
  
• La composée de deux similitudes est encore une similitude
  Lorsque deux similitudes de rapports \(k_1\) et \(k_2\) sont composées, on obtient une nouvelle similitude dont le rapport est égal à \(k_1 \cdot k_2\). Autrement dit, la composition de deux similitudes reste toujours une similitude.
• Les isométries et les homothéties sont des cas particuliers de similitudes
  Les isométries et les homothéties appartiennent toutes deux à la famille des similitudes. Elles conservent les angles ainsi que les rapports entre les longueurs, mais ne préservent pas nécessairement les distances.
  • Une isométrie est une similitude dont le rapport vaut $ k = 1 $. Toutes les distances sont alors conservées.
  • Une homothétie est une similitude possédant un centre fixe et ne comportant ni rotation ni translation. Elle multiplie toutes les distances à partir de ce centre par un même facteur $ k $.
  On en déduit que toutes les isométries et toutes les homothéties sont des similitudes, mais que l'inverse n'est pas vrai.
  • Une similitude n'est pas forcément une isométrie, puisque son rapport peut être différent de 1 ( $ k \ne 1 $ ).
  • Une similitude n'est pas forcément une homothétie, car elle peut également comporter une rotation, une translation ou une symétrie.
  En résumé, les isométries et les homothéties sont deux sous-ensembles de l'ensemble des similitudes. Les isométries correspondent au cas où $ k = 1 $, tandis que les homothéties sont les similitudes qui ne comportent ni rotation ni translation.
  
• Les figures congruentes sont un cas particulier de figures semblables
  Deux figures congruentes sont toujours semblables. Une congruence peut en effet être interprétée comme la composition d'une homothétie de rapport 1 et d'une isométrie, qu'il s'agisse d'une translation, d'une rotation, d'une symétrie ou de l'identité.
• Centre de similitude
  Dans le plan, toute similitude qui n'est pas une translation possède un point fixe. Ce point, qui reste invariant au cours de la transformation, est appelé centre de similitude.
• Similitudes directes et inverses
  Une similitude est dite directe lorsqu'elle conserve l'orientation de la figure. Elle est dite inverse lorsqu'elle inverse cette orientation.
• Relation entre les périmètres de deux figures semblables
  Si deux figures planes sont semblables avec un rapport \(k\), leurs périmètres sont dans le même rapport. Si \(F'\) est l'image de \(F\) par une similitude de rapport \(k\), alors : $$ \text{Perimeter}(F') = k \cdot \text{Perimeter}(F) $$

  Remarque. Une similitude multiplie toutes les longueurs par \(k\). Le périmètre étant une grandeur linéaire, il est lui aussi multiplié par ce même facteur. Par exemple, si le périmètre d'un carré est \(P = 4L\), alors celui d'un carré semblable de côté \(kL\) est : $$ P' = 4(kL) = k \cdot (4L) = k \cdot P $$

• Relation entre les aires de deux figures semblables
  Si deux figures planes sont semblables avec un rapport \(k\), leurs aires sont dans le rapport \(k^2\). Si \(F'\) est l'image de \(F\) par une similitude de rapport \(k\), alors : $$ \text{Area}(F') = k^2 \cdot \text{Area}(F) $$

  Remarque. Chaque longueur est multipliée par \(k\). Comme l'aire dépend de deux dimensions, elle est multipliée par \(k^2\). Ainsi, si l'aire d'un carré est \(A = L \cdot L\), un carré semblable de côté \(kL\) vérifie : $$ A' = (kL)\cdot(kL) = k^2 \cdot (L \cdot L) $$

• Relation entre les volumes de deux solides semblables
  Dans l'espace, si deux solides sont semblables avec un rapport \(k\), leurs volumes sont dans le rapport \(k^3\). Si \(F'\) est l'image de \(F\) par une similitude de rapport \(k\), alors : \[ \text{Volume}(F') = k^3 \cdot \text{Volume}(F) \]

  Remarque. Une similitude multiplie chacune des dimensions linéaires par \(k\). Comme le volume dépend de trois dimensions, il est multiplié par \(k^3\). Par exemple, si un cube possède un volume \(V = L \cdot L \cdot L\), un cube semblable de côté \(kL\) vérifie : \[ V' = (kL)\cdot(kL)\cdot(kL) = k^3 \cdot (L \cdot L \cdot L) = k^3 \cdot V \]

Ces propriétés donnent une vision d'ensemble de la similitude et montrent comment cette transformation relie de manière cohérente les figures du plan et les solides de l'espace tout en préservant leur forme.