Critères de similitude des triangles

Les critères de similitude des triangles permettent de déterminer si deux triangles sont semblables sans avoir à comparer toutes leurs caractéristiques.

En géométrie, ces critères sont essentiels, car ils permettent d'établir rapidement la similitude de deux triangles à partir d'un nombre limité d'informations.

Il existe trois critères fondamentaux de similitude.

Critère de similitude Angle-Angle (AA)

Deux triangles sont semblables s'ils possèdent deux angles correspondants égaux.

Lorsque deux triangles ont deux angles correspondants égaux, leur troisième angle est lui aussi nécessairement égal. Les deux figures conservent donc la même forme, même si leurs dimensions sont différentes.

Ce résultat est connu sous le nom de critère de similitude AA.

Par exemple, si deux triangles possèdent deux angles correspondants égaux, α≅α' et β≅β',

$$ \alpha \cong \alpha ' $$

$$ \beta \cong \beta ' $$

alors ils satisfont au critère de similitude AA et sont donc semblables.

Remarque : Il suffit de vérifier l'égalité de deux paires d'angles correspondants. En effet, la somme des angles intérieurs d'un triangle est toujours égale à 180°. Ainsi, si deux triangles possèdent deux angles égaux α et β, leur troisième angle est automatiquement égal, puisqu'il vaut 180° - α - β, c'est-à-dire γ≅180°-α-β. Cette propriété est valable pour toute paire d'angles correspondants.

Critère de similitude Côté-Angle-Côté (CAC)

Deux triangles sont semblables si deux côtés correspondants sont proportionnels et si l'angle compris entre ces deux côtés est égal.

Autrement dit, si deux côtés correspondants sont proportionnels selon un même rapport \( k \) et que l'angle compris entre eux est égal dans les deux triangles, ceux-ci sont semblables.

Ce résultat est appelé critère de similitude CAC.

Critère de similitude Côté-Côté-Côté (CCC)

Deux triangles sont semblables si tous leurs côtés correspondants sont proportionnels.

Lorsque chaque côté d'un triangle est proportionnel au côté correspondant de l'autre selon un même rapport \( k \), les deux triangles sont nécessairement semblables.

Ce résultat est appelé critère de similitude CCC.

 

Ces trois critères constituent les méthodes de référence pour démontrer la similitude de deux triangles. En pratique, il suffit qu'un seul d'entre eux soit vérifié pour conclure que les deux triangles sont semblables.