Critères de similitude de polygones à n côtés

Ce résultat, appelé théorème de similitude des polygones, permet d'établir plus simplement la similitude de deux polygones ayant le même nombre n de côtés, sans avoir à vérifier systématiquement tous leurs angles et tous leurs côtés.

Autrement dit :

1. Le premier critère dispense de vérifier 3 angles consécutifs.
2. Le deuxième critère dispense de vérifier 2 angles consécutifs ainsi que le côté qui les relie.
3. Le troisième critère dispense de vérifier 1 angle ainsi que les deux côtés qui lui sont adjacents.

Remarque. En règle générale, pour établir la similitude de deux polygones, il faut vérifier que tous les angles homologues sont égaux et que tous les côtés homologues sont proportionnels. Les critères présentés ici permettent donc de réduire le nombre de vérifications nécessaires.

Explication

Deux polygones sont dits semblables lorsqu'ils ont la même forme, sans nécessairement avoir la même taille. L'un peut ainsi être un agrandissement ou une réduction de l'autre.

Pour déterminer si deux polygones à n côtés sont semblables, il faut en principe vérifier les deux conditions essentielles de similitude :

• tous les angles homologues sont égaux, c'est-à-dire qu'ils ont la même mesure
• tous les côtés homologues sont proportionnels, c'est-à-dire que le rapport des longueurs de deux côtés homologues est le même pour toutes les paires de côtés correspondants

Remarque. L'égalité des angles homologues ne suffit pas, à elle seule, à établir la similitude de deux polygones ayant plus de trois côtés. Par exemple, un carré et un rectangle ont tous deux quatre angles droits de 90°, mais ces deux figures ne sont pas nécessairement semblables. Pour qu'elles le soient, les longueurs de leurs côtés homologues doivent également être proportionnelles.

Il n'est toutefois pas toujours nécessaire de vérifier séparément toutes ces conditions. Certains critères permettent d'établir la similitude à partir d'un nombre plus restreint d'informations.

Plus précisément, d'après le théorème de similitude des polygones, chacune des conditions suivantes suffit à établir que deux polygones sont semblables :

• Deux polygones à n côtés sont semblables s'ils ont n-3 angles consécutifs respectivement égaux et si tous leurs côtés homologues sont proportionnels.

  Remarque. Ce premier critère dispense de vérifier trois angles consécutifs. Prenons deux pentagones, pour lesquels n=5. Il suffit alors de vérifier l'égalité de n-3 angles consécutifs, soit 5-3=2 angles consécutifs. Dans l'exemple, on considère les angles α=α' et β=β'. Il faut en outre vérifier que tous les côtés homologues présentent le même rapport de proportionnalité.
  

• Deux polygones à n côtés sont semblables s'ils ont n-2 angles consécutifs respectivement égaux et si les côtés adjacents à ces angles sont proportionnels.

  Remarque. Ce deuxième critère dispense de vérifier deux angles consécutifs ainsi que le côté compris entre eux. Dans le cas de deux pentagones, n=5 : il faut donc vérifier l'égalité de n-2 angles consécutifs, soit 5-2=3 angles consécutifs. Dans l'exemple, on vérifie les égalités α=α', β=β' et γ=γ', ainsi que la proportionnalité des côtés adjacents aux angles considérés. Les angles δ et ε, de même que le côté DE qui les relie, n'ont pas à être vérifiés.
  

• Deux polygones à n côtés sont semblables s'ils ont n-1 angles homologues respectivement égaux et si tous les côtés non adjacents à l'angle exclu sont proportionnels.

  Remarque. Ce troisième critère dispense de vérifier un angle ainsi que les deux côtés qui lui sont adjacents. Pour deux pentagones, n=5 : on vérifie donc l'égalité de n-1 angles, soit 5-1=4 angles, ainsi que la proportionnalité des côtés compris entre ces angles. Si l'on exclut l'angle ε, il suffit de vérifier les relations α≅α', β≅β', γ≅γ' et δ≅δ', ainsi que la proportionnalité de tous les côtés, à l'exception des côtés AE et DE, qui sont adjacents à l'angle ε exclu.
  

Similitude des polygones réguliers

Dans le cas des polygones réguliers, il existe un critère particulièrement simple qui permet d'établir directement leur similitude.

Deux polygones réguliers sont semblables s'ils ont le même nombre n de côtés.

Ce résultat découle directement des propriétés des polygones réguliers et des conditions générales de similitude des polygones.

Démonstration

Considérons deux polygones réguliers ayant chacun n côtés.

Prenons, par exemple, deux pentagones réguliers avec n=5 côtés. Le même raisonnement s'applique toutefois à tout nombre n de côtés.

Un polygone est dit « régulier » lorsque tous ses côtés ont la même longueur et tous ses angles intérieurs la même mesure.

1] Les angles homologues ont la même mesure

Dans un polygone régulier, tous les angles intérieurs ont, par définition, la même mesure. Celle-ci dépend uniquement du nombre n de côtés et se calcule à l'aide de la formule suivante :

$$ \frac{n-2}{n} \cdot 180° $$

Cette formule donne donc la mesure de chaque angle intérieur d'un polygone régulier à n côtés.

Par exemple, dans un pentagone régulier à n=5 côtés, chaque angle intérieur mesure 108° :

$$ \frac{n-2}{n} \cdot 180° = \frac{5-2}{5} \cdot 180° = \frac{3}{5} \cdot 180° = 108° $$

Ainsi, si deux polygones réguliers ABCDE et A'B'C'D'E' ont le même nombre de côtés, par exemple n=5, leurs angles homologues ont nécessairement la même mesure.

2] Les côtés homologues sont proportionnels

Dans un polygone régulier, tous les côtés ont, par définition, la même longueur.

Ainsi, tous les côtés du premier polygone ABCDE ont la même longueur :

$$ \overline{AB} \cong \overline{BC} \cong \overline{CD} \cong \overline{DE} \cong \overline{EA} $$

De même, tous les côtés du second polygone A'B'C'D'E' ont la même longueur :

$$ \overline{A'B'} \cong \overline{B'C'} \cong \overline{C'D'} \cong \overline{D'E'} \cong \overline{A'E'} $$

Considérons maintenant deux côtés homologues, par exemple AB et A'B', et notons k le rapport de leurs longueurs :

$$ \frac{ \overline{AB}}{ \overline{A'B'} } = k $$

Puisque tous les côtés d'un même polygone régulier ont la même longueur, ce rapport est nécessairement identique pour toutes les autres paires de côtés homologues.

Par exemple, puisque AB ≅ BC et A'B' ≅ B'C', le rapport des longueurs de BC et B'C' est lui aussi égal à k :

$$  \frac{ \overline{AB}}{ \overline{A'B'} } = \frac{ \overline{BC}}{ \overline{B'C'} } = k $$

Le même raisonnement s'applique aux autres côtés :

$$ \frac{ \overline{CD}}{ \overline{C'D'} } = k $$

$$ \frac{ \overline{DE}}{ \overline{D'E'} } = k $$

$$ \frac{ \overline{EA}}{ \overline{A'E'} } = k $$

On en déduit que, lorsque deux polygones réguliers ont le même nombre de côtés, tous leurs côtés homologues sont proportionnels selon un même rapport k.

Conclusion

Deux polygones réguliers ayant le même nombre de côtés vérifient donc automatiquement les deux conditions de similitude :

1. leurs angles homologues ont la même mesure
2. leurs côtés homologues sont proportionnels selon un même rapport

Par conséquent, les deux polygones sont semblables.

Remarque. Pour deux polygones réguliers ayant le même nombre de côtés, il n'est pas nécessaire de vérifier séparément l'égalité des angles homologues et la proportionnalité des côtés homologues. En effet, le nombre de côtés détermine la mesure des angles intérieurs d'un polygone régulier. Les deux polygones ont donc des angles homologues de même mesure. Par ailleurs, comme tous les côtés d'un même polygone régulier ont la même longueur, les côtés homologues des deux polygones présentent nécessairement un rapport constant. Les deux conditions de similitude sont ainsi automatiquement satisfaites.

Ce raisonnement est valable pour toute paire de polygones réguliers ayant le même nombre de côtés.