Polygones réguliers

Un polygone régulier est une figure géométrique plane dont tous les côtés ont la même longueur et tous les angles intérieurs la même mesure.

Autrement dit, un polygone régulier est à la fois équilatéral et équiangle : ses côtés sont tous de même longueur et ses angles intérieurs ont tous la même mesure. Cette double propriété lui confère une symétrie particulièrement remarquable.

Exemples. Parmi les polygones réguliers les plus courants, on trouve le triangle équilatéral, qui est le plus simple d'entre eux, avec trois côtés de même longueur et trois angles de 60°, ainsi que le carré, qui possède quatre côtés de même longueur et quatre angles droits.

En revanche, un losange n'est pas nécessairement un polygone régulier : si ses quatre côtés ont la même longueur, ses angles ne sont généralement pas tous égaux. De même, un rectangle n'est pas nécessairement régulier : ses quatre angles sont droits, mais ses quatre côtés n'ont généralement pas la même longueur. Le carré constitue précisément le cas particulier qui est à la fois un losange, un rectangle et un polygone régulier.

Mesure des angles intérieurs

Dans un polygone régulier à n côtés, tous les angles intérieurs ont la même mesure (α). Il suffit donc de connaître le nombre de côtés pour déterminer la mesure de chacun de ces angles.

La somme des angles intérieurs d'un polygone à n côtés étant égale à (n-2)·180°, on obtient la formule suivante :

$$ \alpha = (n-2) \cdot \frac{180°}{n} $$

Prenons l'exemple d'un hexagone régulier, pour lequel n = 6. Chaque angle intérieur mesure alors 120°.

$$ \alpha = (6-2) \cdot \frac{180°}{6} = 4 \cdot 30° = 120° $$

Cercle inscrit et cercle circonscrit d'un polygone régulier

Tout polygone régulier est inscriptible dans un cercle et circonscriptible à un autre cercle. Le cercle circonscrit et le cercle inscrit sont concentriques : leur centre commun (O) est appelé le centre du polygone régulier.

Dire qu'un polygone régulier est inscriptible dans un cercle signifie que tous ses sommets appartiennent à un même cercle, appelé cercle circonscrit.

Le rayon du cercle circonscrit (en bleu) correspond à la distance entre le centre du polygone et chacun de ses sommets. On l'appelle rayon du cercle circonscrit ou, plus simplement, rayon du polygone régulier.

Inversement, tout polygone régulier est circonscriptible à un cercle intérieur (en rouge). Dans ce cas, chacun de ses côtés est tangent au cercle inscrit.

Le rayon du cercle inscrit correspond à la distance entre le centre du polygone et chacun de ses côtés. Cette distance est appelée apothème (a) du polygone régulier.

Démonstration

Pour comprendre pourquoi tout polygone régulier possède un cercle inscrit et un cercle circonscrit de même centre, considérons un pentagone régulier ABCDE.

Puisque le pentagone est régulier, il est à la fois équilatéral et équiangle. Ses cinq côtés ont donc la même longueur et ses cinq angles intérieurs la même mesure.

$$ \overline{AB} \cong \overline{BC} \cong \overline{CD} \cong \overline{DE} \cong \overline{EA} $$

$$ \alpha \cong \beta \cong \gamma \cong \delta \cong \epsilon $$

Nous allons montrer qu'il existe un cercle passant par les cinq sommets du pentagone et un autre cercle tangent à ses cinq côtés, et que ces deux cercles ont le même centre.

Commençons par tracer les bissectrices des angles α et β. Chacune partage l'angle correspondant en deux angles de même mesure : α'≅α'' et β'≅β''.

Notons O le point d'intersection de ces deux bissectrices.

Comme α≅β d'après l'hypothèse initiale, leurs moitiés ont elles aussi la même mesure. On a donc :

$$ \alpha' = \alpha'' \cong \beta' = \beta'' $$

Le triangle ABO est alors un triangle isocèle, puisque ses deux angles à la base ont la même mesure (α''≅β').

Dans un triangle isocèle, les côtés opposés aux angles de même mesure ont la même longueur. On en déduit donc que OA≅OB.

$$ \overline{OA} \cong \overline{OB} $$

Traçons maintenant le segment OC, qui relie le point O au sommet C du polygone régulier.

Comparons les triangles ABO et BCO. Ils ont le côté BO en commun, les côtés AB et BC ont la même longueur (AB≅BC) et les angles compris entre ces côtés ont la même mesure par construction (β'≅β'').

D'après le premier cas d'égalité des triangles, les triangles ABO et BCO sont donc isométriques. Leurs côtés correspondants ont la même longueur et leurs angles correspondants la même mesure.

On en déduit notamment que OC≅OA et que les angles correspondants α''≅γ' ont la même mesure.

$$ \overline{OC} \cong \overline{OA} \cong \overline{OB} $$

$$ \alpha'' \cong \gamma' $$

Or, puisque α'≅α'' et α''≅γ', la transitivité de l'égalité permet d'écrire :

$$ \alpha' \cong \alpha'' \cong \gamma' $$

Par ailleurs, le pentagone étant régulier, on a α≅γ. La bissectrice de l'angle α le partage en deux angles de même mesure, si bien que :

$$ \alpha' + \alpha'' = \alpha $$

Puisque γ'≅α' et que γ≅α, l'angle restant γ'' a nécessairement la même mesure que γ'.

Il s'ensuit que γ'≅γ''. Le segment OC est donc la bissectrice de l'angle γ.

$$ \gamma' \cong \gamma'' $$

Le même raisonnement peut être appliqué aux autres sommets du polygone régulier, D et E. On obtient ainsi que les triangles OCD≅ODE≅OEA sont eux aussi isométriques aux précédents et isocèles.

On peut donc conclure que les segments OA, OB, OC, OD et OE ont tous la même longueur :

$$ \overline{OA} \cong \overline{OB} \cong \overline{OC} \cong \overline{OD} \cong \overline{OE} $$

Le point O est ainsi équidistant des cinq sommets A, B, C, D et E du polygone régulier.

Puisque tous les sommets sont situés à la même distance de O, ils appartiennent à un même cercle de centre O et de rayon OA.

On obtient ainsi le cercle circonscrit au polygone.

Il reste à montrer que ce même point O est également le centre du cercle inscrit.

Les segments OA, OB, OC, OD et OE sont les bissectrices des angles du pentagone régulier.

Or, comme tout point situé sur la bissectrice d'un angle est équidistant des deux côtés de cet angle, le point O est à égale distance des deux côtés de chacun des angles du pentagone. Il est donc équidistant de tous les côtés du polygone.

Traçons alors un cercle de centre O dont le rayon est égal à la distance de O à l'un quelconque des côtés du pentagone. Ce cercle est tangent à chacun des côtés du polygone régulier.

On obtient ainsi le cercle inscrit dans le polygone.

Le rayon de ce cercle est l'apothème du polygone régulier.

Nous avons donc établi que le cercle inscrit et le cercle circonscrit ont le même centre O.

La proposition est ainsi démontrée.

Apothème

L'apothème d'un polygone régulier est la distance entre son centre et l'un quelconque de ses côtés. Sa longueur est égale au rayon du cercle inscrit dans le polygone.

L'apothème est une grandeur particulièrement utile, notamment pour calculer l'aire d'un polygone régulier.

Si l'on connaît le périmètre (P) et l'apothème (a), l'aire (A) du polygone s'obtient en multipliant ces deux grandeurs, puis en divisant le résultat par deux :

$$ A = \frac{P \cdot a}{2} $$

Exemple. Considérons un pentagone régulier dont les côtés mesurent 3 unités et dont l'apothème vaut a=2.06. Commençons par calculer son périmètre : $$ P = 3 \cdot 5 = 15 $$ Utilisons ensuite l'apothème a=2.06 pour déterminer son aire : $$ A = \frac{P \cdot a}{2} = \frac{15 \cdot 2.06}{2} = 15.45 $$ L'aire du pentagone est donc A=15.45 unités carrées.

Aire d'un polygone régulier

L'aire d'un polygone régulier est égale au produit de son demi-périmètre (p) par son apothème (a) : $$ A = p \cdot a $$

L'apothème est le segment perpendiculaire mené du centre du polygone à l'un de ses côtés. Dans un polygone régulier, le pied de cette perpendiculaire se trouve au milieu du côté considéré. Le demi-périmètre correspond, quant à lui, à la moitié du périmètre : 2p = P, donc p = P/2.

Pour comprendre l'origine de cette formule, il suffit de décomposer un polygone régulier à n côtés en n triangles isocèles congruents ayant tous pour sommet commun le centre du polygone.

L'aire de chacun de ces triangles est égale à la moitié du produit de sa base par sa hauteur. Ici, la base correspond à un côté du polygone et la hauteur à son apothème.

En additionnant les aires de tous les triangles, on obtient l'aire totale du polygone. Or, la somme de leurs bases est précisément égale au périmètre P. On retrouve ainsi directement la formule :

$$ A = \frac{P \cdot a}{2} = p \cdot a $$

Rayon d'un polygone régulier

Le rayon d'un polygone régulier est le segment qui relie le centre du polygone à l'un de ses sommets. Sa longueur est égale au rayon du cercle circonscrit.

En effet, tous les sommets d'un polygone régulier appartiennent à un même cercle, appelé cercle circonscrit. Le centre (O) de ce cercle coïncide avec le centre du polygone.

Les segments reliant le centre aux différents sommets ont donc tous la même longueur : ils correspondent aux rayons du cercle circonscrit.

Propriétés complémentaires

Les polygones réguliers possèdent plusieurs propriétés géométriques particulièrement intéressantes :

• Symétries
  Tout polygone régulier à n côtés possède n axes de symétrie ainsi qu'une symétrie de rotation d'ordre n autour de son centre. Il reste inchangé après une rotation de centre O dont l'angle est un multiple de 360°/n.
• Diagonales
  Le nombre de diagonales D d'un polygone à n côtés se calcule à l'aide de la formule suivante : $$ D = \frac{n(n-3)}{2} $$ où n représente le nombre de côtés.

  Exemple. Prenons un pentagone, pour lequel n=5. Son nombre de diagonales est : $$ D = \frac{5(5-3)}{2} = \frac{5 \cdot 2}{2} = 5 $$ Un pentagone possède donc 5 diagonales. On peut facilement le vérifier en traçant tous les segments qui relient deux sommets non consécutifs.
  

• Quand le nombre de côtés augmente
  À mesure que le nombre de côtés augmente, un polygone régulier inscrit dans un cercle se rapproche de plus en plus de ce cercle. Plus précisément, lorsque n tend vers l'infini, son périmètre et son aire tendent respectivement vers la circonférence et l'aire du cercle circonscrit. Pour toute valeur finie de n, il reste néanmoins un polygone constitué d'un nombre fini de segments.
  
• Cercle inscrit et cercle circonscrit
  Tout polygone régulier admet un cercle circonscrit passant par tous ses sommets et un cercle inscrit tangent à tous ses côtés. Ces deux cercles sont concentriques : leur centre commun est le centre du polygone.
  

  Remarque. Dans le cas particulier d'un hexagone régulier, la longueur d'un côté est égale au rayon du cercle circonscrit.

• Égalité d'aire entre un polygone régulier et un triangle
  L'aire d'un polygone régulier est égale à celle d'un triangle dont la base a pour longueur le périmètre du polygone et dont la hauteur est égale à son apothème. Dans les deux cas, l'aire est donnée par la même formule : $$ A = \frac{P \cdot a}{2} $$
  
• Deux polygones réguliers ayant le même nombre de côtés sont semblables
  Deux polygones réguliers ayant le même nombre de côtés sont nécessairement semblables. Leurs angles correspondants ont la même mesure et les longueurs de leurs côtés homologues sont proportionnelles.

Ces propriétés permettent d'étudier tous les polygones réguliers selon les mêmes principes, quel que soit leur nombre de côtés.