Arcs égaux d'un cercle et polygones réguliers
Lorsqu'un cercle est divisé en trois arcs égaux ou davantage, les points qui délimitent ces arcs permettent de construire un polygone régulier inscrit. Il suffit de relier successivement ces points par des segments. On peut également construire un polygone régulier circonscrit en traçant les tangentes au cercle en chacun de ces points.
Les propriétés réciproques sont elles aussi vraies.
Lorsqu'un polygone régulier à n côtés est inscrit dans un cercle, ses n sommets partagent le cercle en n arcs égaux. De même, lorsqu'un polygone régulier est circonscrit à un cercle, les n points de tangence de ses côtés avec le cercle partagent celui-ci en n arcs égaux.
Un exemple concret
A] Polygones réguliers inscrits
Considérons un cercle et plaçons sur celui-ci quatre points régulièrement espacés.
Ces quatre points partagent le cercle en quatre arcs égaux, c'est-à-dire de même longueur.
$$ \overparen{AB} \cong \overparen{BC} \cong \overparen{CD} \cong \overparen{AD} $$
Relions maintenant chaque point au point suivant par un segment.
Les quatre points deviennent alors les sommets d'un polygone inscrit dans le cercle. Dans cet exemple, le polygone obtenu est un carré.
Les quatre sommets du carré appartiennent au cercle, tandis que chacun de ses côtés constitue une corde du cercle.
Réciproque
Partons maintenant d'un polygone régulier, par exemple un carré ou un triangle équilatéral.
Déterminons le centre (O) du polygone régulier. Ce point est équidistant de tous les sommets. On peut notamment le construire en recherchant le point d'intersection des médiatrices des côtés ou des bissectrices des angles du polygone.
Notons d la distance entre le centre O et chacun des sommets. Traçons ensuite le cercle de centre O et de rayon d.
Tous les sommets du polygone régulier se trouvent sur ce cercle. Comme les angles au centre déterminés par deux sommets consécutifs sont tous égaux, ils interceptent des arcs de même longueur. Les sommets partagent donc le cercle en arcs égaux.
Par exemple, dans un polygone régulier à 5 côtés, c'est-à-dire un pentagone régulier, les cinq sommets partagent le cercle circonscrit en 5 arcs égaux.
B] Polygones réguliers circonscrits
Voyons maintenant ce qui se passe dans le cas d'un polygone circonscrit. Considérons un cercle et partageons-le en n = 4 arcs égaux.
Traçons les tangentes au cercle aux quatre points A, B, C et D qui délimitent les arcs AB, BC, CD et AD.
Les tangentes menées en deux points consécutifs se coupent à l'extérieur du cercle. Leurs intersections déterminent ainsi quatre sommets : E, F, G et H.
Ces quatre sommets définissent un polygone régulier circonscrit au cercle. Dans notre exemple, il s'agit d'un carré.
Chacun des côtés du carré est tangent au cercle en un point unique. On peut donc dire que le cercle est inscrit dans le carré ou, de manière équivalente, que le carré est circonscrit au cercle.
Réciproque
Partons à présent d'un polygone régulier, par exemple d'un carré.
Traçons les bissectrices de ses angles. Elles se coupent toutes au même point, qui est le centre (O) du polygone régulier.
Traçons ensuite le cercle de centre O dont le rayon est égal à la distance du centre à l'un des côtés du polygone. Ce cercle est tangent à chacun des côtés du polygone sans les couper.
Les points où le cercle touche les côtés du polygone sont appelés points de tangence.
Dans le cas du carré, ces quatre points de tangence sont régulièrement répartis sur le cercle. Ils le partagent donc en quatre arcs égaux.
Le même raisonnement s'applique à tout polygone régulier.
