Quadrilatères

Un quadrilatère est un polygone composé de quatre côtés.

Pour décrire un quadrilatère, il est utile de distinguer les différents types de côtés et d'angles qui le composent.

Les côtés d'un quadrilatère se répartissent en deux catégories :

• Côtés consécutifs
  Deux côtés sont consécutifs lorsqu'ils partagent un même sommet.
• Côtés opposés
  Deux côtés sont opposés lorsqu'ils n'ont aucun sommet en commun.

Les angles se classent de la même manière :

• Angles consécutifs
  Deux angles sont consécutifs lorsqu'ils ont un côté commun.
• Angles opposés
  Deux angles sont opposés lorsqu'ils ne partagent aucun côté.

Tout quadrilatère possède deux diagonales. Chacune relie deux sommets opposés.

Remarque : Dans un quadrilatère simple, une diagonale partage la figure en deux triangles. Comme la somme des angles intérieurs d'un triangle est égale à 180°, la somme des angles intérieurs d'un quadrilatère est nécessairement égale à 360°. 

La somme des angles intérieurs d'un quadrilatère simple est donc toujours égale à 360°, soit un angle plein.

$$ \alpha + \beta + \gamma + \delta = 360° $$

Les différents types de quadrilatères

Selon leur forme, les quadrilatères simples sont répartis en deux grandes familles : les quadrilatères convexes et les quadrilatères concaves.

• Quadrilatères convexes
  Dans un quadrilatère convexe, chacun des angles intérieurs est strictement inférieur à 180°. Les deux diagonales restent entièrement à l'intérieur de la figure.
  
  Cette famille comprend notamment les trapèzes, les parallélogrammes et les cerfs-volants convexes.
  • Trapèzes
    Dans cette classification, un trapèze est un quadrilatère qui possède exactement une paire de côtés opposés parallèles. Il peut être quelconque, isocèle ou rectangle.
    
  • Parallélogrammes
    Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux. Ces côtés sont également de même longueur deux à deux.
    
    Les rectangles, les losanges et les carrés sont des cas particuliers de parallélogrammes.
    • Rectangles
      Un rectangle est un parallélogramme dont les quatre angles sont droits.
      
    • Losanges
      Un losange est un parallélogramme dont les quatre côtés sont de même longueur. Ses diagonales sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu.
      
    • Carrés
      Un carré est un parallélogramme dont les quatre côtés sont égaux et dont les quatre angles sont droits. Ses diagonales sont de même longueur, perpendiculaires et se coupent en leur milieu. Il réunit ainsi les propriétés du rectangle et du losange.
      
  • Cerfs-volants convexes
    Un cerf-volant convexe est un quadrilatère possédant deux paires distinctes de côtés consécutifs de même longueur. Ses diagonales sont perpendiculaires et l'une d'elles est la médiatrice de l'autre.
    
• Quadrilatères concaves
  Dans un quadrilatère concave, au moins un angle intérieur est supérieur à 180°. L'une des diagonales se trouve alors, au moins en partie, à l'extérieur de la figure.
  

À retenir

Voici quelques propriétés essentielles des quadrilatères :

• Le périmètre d'un quadrilatère est obtenu en additionnant les longueurs de ses quatre côtés.
• Dans tout quadrilatère non dégénéré, la longueur de chaque côté est inférieure à la somme des longueurs des trois autres côtés.
• Aire d'un quadrilatère à diagonales perpendiculaires
  Lorsque les diagonales d'un quadrilatère sont perpendiculaires, son aire est égale à la moitié du produit de leurs longueurs. Si les diagonales mesurent \(d_1\) et \(d_2\), on obtient : $$ A = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} $$

  

• Quadrilatères circonscrits à un cercle
  Un quadrilatère convexe est dit circonscrit à un cercle lorsqu'il existe un cercle tangent à chacun de ses quatre côtés. Le centre de ce cercle appartient aux bissectrices des quatre angles et est appelé incentre. Le cercle est alors le cercle inscrit du quadrilatère.
  

  Le carré et le losange sont deux exemples de quadrilatères pouvant être circonscrits à un cercle. Dans ces figures, les bissectrices des quatre angles sont concourantes et leur point d'intersection est à égale distance des quatre côtés. En revanche, tous les quadrilatères ne vérifient pas cette propriété. La figure suivante montre un quadrilatère qui ne peut pas être circonscrit à un cercle. 
  

  Si un quadrilatère convexe est circonscrit à un cercle, la somme des longueurs de deux côtés opposés est égale à celle des deux autres côtés. Cette propriété est connue sous le nom de théorème de Pitot. $$ \overline{AB} + \overline{CD} = \overline{BC} + \overline{AD} $$

Et ainsi de suite...