Parallélogramme
Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux. Cette propriété implique également que les côtés opposés ont la même longueur.
Le parallélogramme est l'une des figures fondamentales de la géométrie plane. Il se reconnaît facilement grâce aux propriétés suivantes :
- Les côtés opposés sont parallèles et de même longueur.
- Les angles opposés ont la même mesure.
- Deux angles consécutifs sont supplémentaires : leur somme est égale à 180°.
- Les diagonales se coupent en leur milieu.
- Chaque diagonale partage le parallélogramme en deux triangles superposables.
Le rectangle, le losange et le carré sont tous des parallélogrammes. Ils en héritent donc toutes les propriétés, auxquelles s'ajoutent des caractéristiques qui leur sont propres.
Le parallélogramme est une figure convexe. On peut aussi le définir comme l'intersection de deux bandes dont les directions sont différentes.
En géométrie, une bande est la région du plan comprise entre deux droites parallèles.
Formules essentielles du parallélogramme
- Le périmètre d'un parallélogramme est égal au double de la somme des longueurs de deux côtés consécutifs a et b. $$ P = 2 \cdot (a+b) $$
- L'aire d'un parallélogramme est obtenue en multipliant la longueur de la base (b) par la hauteur correspondante (h). $$ A = b \cdot h $$
Base et hauteur d'un parallélogramme
Dans un parallélogramme, chacun des côtés peut servir de base (b). La hauteur correspondante (h) est la distance perpendiculaire entre la droite portant cette base et la droite portant le côté opposé.
La hauteur est toujours mesurée perpendiculairement à la base. Elle peut donc être représentée par tout segment reliant les deux droites parallèles qui portent la base et le côté opposé.
Dans la figure suivante, le segment h représente la hauteur du parallélogramme ABCD lorsque le côté AB est choisi comme base.
Si l'on choisit le côté BC comme base, les hauteurs correspondantes sont représentées ci-dessous.
Les principaux types de parallélogrammes
Le rectangle, le losange et le carré appartiennent tous à la famille des parallélogrammes. Chacun possède cependant des propriétés supplémentaires qui le distinguent des autres.
- Rectangle
Un rectangle est un parallélogramme dont les quatre angles sont droits.
- Losange
Un losange est un parallélogramme dont les quatre côtés sont de même longueur. Ses diagonales sont perpendiculaires et chacune est la bissectrice de deux angles opposés.
- Carré
Un carré est à la fois un rectangle et un losange. Il possède quatre côtés égaux, quatre angles droits et des diagonales de même longueur, perpendiculaires, qui se coupent en leur milieu et sont bissectrices des angles.
Ainsi, tout rectangle, tout losange et tout carré est un parallélogramme.
Le tableau suivant compare les principales propriétés de ces différentes figures.
| Propriété | Parallélogramme | Rectangle | Losange | Carré |
|---|---|---|---|---|
| Les côtés opposés ont la même longueur | OUI | OUI | OUI | OUI |
| Les angles opposés ont la même mesure | OUI | OUI | OUI | OUI |
| Deux angles consécutifs sont supplémentaires | OUI | OUI | OUI | OUI |
| Les diagonales se coupent en leur milieu | OUI | OUI | OUI | OUI |
| Chaque diagonale partage la figure en deux triangles superposables | OUI | OUI | OUI | OUI |
| Les diagonales ont la même longueur | NON | OUI | NON | OUI |
| Les diagonales sont perpendiculaires | NON | NON | OUI | OUI |
| Les diagonales sont bissectrices des angles | NON | NON | OUI | OUI |
| Les quatre côtés ont la même longueur | NON | NON | OUI | OUI |
| La somme des angles intérieurs est égale à 360° | OUI | OUI | OUI | OUI |
Critères de reconnaissance d'un parallélogramme
Un quadrilatère convexe est un parallélogramme dès qu'il satisfait à l'un des critères suivants :
- Ses côtés opposés ont respectivement la même longueur.
- Ses angles opposés ont respectivement la même mesure.
- Ses diagonales se coupent en leur milieu.
- Deux côtés opposés sont à la fois parallèles et de même longueur.
Il suffit qu'un seul de ces critères soit vérifié pour conclure qu'un quadrilatère convexe est un parallélogramme.
Autrement dit, pour démontrer qu'une figure est un parallélogramme, il n'est pas nécessaire de vérifier toutes ses propriétés : un seul de ces critères suffit.
Comment construire un parallélogramme
La construction d’un parallélogramme est simple dès lors que l’on connaît les longueurs de deux côtés consécutifs.
Commencez par tracer deux segments consécutifs, AB et BC. Vous pouvez tracer d’abord le plus long ou le plus court : l’ordre choisi ne modifie pas la construction.
Placez ensuite la pointe du compas en A, puis réglez son ouverture sur la longueur BC. Tracez un premier arc de cercle.
Placez maintenant la pointe du compas en C et réglez son ouverture sur la longueur AB. Tracez un second arc de cercle.
Les deux arcs se coupent en deux points distincts, notés D et E.
Un seul de ces points permet cependant d’obtenir le parallélogramme convexe recherché. Dans cet exemple, il s’agit du point D. Le point E correspond à une autre configuration et n’est donc pas retenu.
Le point D est le quatrième sommet du parallélogramme.
Tracez ensuite le segment CD.
Terminez la construction en traçant le segment AD.
Le quadrilatère ABCD obtenu est bien un parallélogramme. En effet, la construction garantit que AB = CD et BC = AD. Les côtés opposés ont donc respectivement la même longueur, ce qui suffit à établir qu’ABCD est un parallélogramme.
Propriétés fondamentales du parallélogramme
Le parallélogramme possède plusieurs propriétés essentielles. Elles permettent de reconnaître cette figure, de calculer ses angles et ses longueurs, mais aussi de construire de nombreuses démonstrations en géométrie.
- Les côtés et les diagonales peuvent jouer le rôle de sécantes à deux droites parallèles.
Dans un parallélogramme, les côtés opposés sont parallèles. Les deux autres côtés, ainsi que les diagonales, peuvent donc être considérés comme des sécantes à ces droites parallèles. Cette configuration permet d’utiliser les propriétés des droites parallèles coupées par une sécante, notamment celles concernant les angles alternes-internes, les angles correspondants et les angles intérieurs situés du même côté de la sécante.
- Chaque diagonale partage le parallélogramme en deux triangles isométriques.
Démonstration : considérons la diagonale AC. Elle partage le parallélogramme en deux triangles, ACD et ABC, qui ont le côté AC en commun. Comme les droites AB et CD sont parallèles, les angles α' et γ'' sont alternes-internes et ont donc la même mesure : α'≅γ''. De même, puisque les droites AD et BC sont parallèles, les angles α'' et γ' sont également alternes-internes : α''≅γ'. Les deux triangles ont ainsi un côté commun compris entre deux angles de même mesure. D’après le deuxième critère d’isométrie des triangles (ACA), les triangles ACD et ABC sont isométriques : ACD≅ABC.
Considérons maintenant la diagonale BD. Elle partage le parallélogramme en deux triangles, ABD et BCD, qui ont le côté BD en commun. Les angles β' et δ'', ainsi que les angles β'' et δ', sont des angles alternes-internes. On obtient donc β'≅δ'' et β''≅δ'. D’après le critère ACA, les triangles ABD et BCD sont eux aussi isométriques : ABD≅BCD.
- Les côtés opposés d’un parallélogramme ont la même longueur.
Démonstration : la diagonale AC partage le parallélogramme en deux triangles isométriques : ACD≅ABC. Or les côtés homologues de deux triangles isométriques ont la même longueur. On obtient donc : AB = CD BC = AD Les côtés opposés d’un parallélogramme sont ainsi égaux deux à deux.
- Les angles opposés d’un parallélogramme ont la même mesure.
Démonstration : la diagonale AC partage le parallélogramme en deux triangles isométriques. Leurs angles homologues ont donc la même mesure. On obtient notamment β≅δ, ainsi que α'≅γ'' et α''≅γ'.
De la même manière, la diagonale BD partage le parallélogramme en deux triangles isométriques. Leurs angles homologues ont donc la même mesure, ce qui donne α≅γ, ainsi que β'≅δ'' et β''≅δ'. Les deux paires d’angles opposés d’un parallélogramme ont donc la même mesure.
- Deux angles consécutifs d’un parallélogramme sont supplémentaires.
Démonstration : considérons les angles α et β. Les droites AD et BC sont parallèles, tandis que la droite AB est une sécante. Les angles α et β sont des angles intérieurs situés du même côté de la sécante. Ils sont donc supplémentaires : $$ \alpha+\beta=180^\circ $$ Le même raisonnement s’applique aux trois autres paires d’angles consécutifs du parallélogramme.
On obtient ainsi : $$ \alpha+\beta=180^\circ $$ $$ \alpha+\delta=180^\circ $$ $$ \beta+\gamma=180^\circ $$ $$ \gamma+\delta=180^\circ $$ - Les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu.
Démonstration : soient AC et BD les diagonales du parallélogramme. Elles se coupent en un point M. Comme les côtés opposés ont la même longueur, on a AB = CD. Les angles α' et γ'' sont alternes-internes par rapport aux droites parallèles AB et CD coupées par la sécante AC. Ils ont donc la même mesure. De même, les angles β' et δ'' sont alternes-internes par rapport aux mêmes parallèles coupées par la sécante BD.
Les triangles ABM et CDM ont ainsi un côté de même longueur compris entre deux angles de même mesure. D’après le critère ACA, ils sont isométriques. Leurs côtés homologues ont donc la même longueur : AM = MC BM = MD Le point M est donc le milieu de chacune des diagonales. Autrement dit, les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu.
Ces propriétés constituent la base de l’étude des parallélogrammes. Elles permettent non seulement de reconnaître cette figure, mais aussi de résoudre de nombreux problèmes de géométrie et de construire des démonstrations plus complexes.
