Aire d'un parallélogramme

Pour calculer l'aire d'un parallélogramme, on utilise la formule suivante : $$ A = b \times h $$ où \( A \) représente l'aire, \( b \) la longueur de la base et \( h \) la hauteur correspondante, c'est-à-dire la distance perpendiculaire entre la droite qui porte la base et celle qui porte le côté opposé.

La notion d'aire du parallélogramme est connue depuis l'Antiquité grecque. Dans les Éléments, Euclide expose les propriétés de cette figure ainsi que celles de nombreuses autres figures géométriques, posant les bases de la géométrie classique.

Exemple de calcul

Prenons un parallélogramme dont la base mesure 5 mètres et la hauteur 3 mètres.

Son aire se calcule en multipliant simplement la base par la hauteur :

$$ A = 5 \, \mathrm{m} \times 3 \, \mathrm{m} = 15 \, \mathrm{m}^2 $$

Pourquoi cette formule fonctionne-t-elle ?

La formule devient très intuitive lorsqu'on transforme mentalement le parallélogramme en un rectangle.

Commencez par tracer la hauteur à partir du sommet D. Le point H correspond au pied de cette hauteur sur la droite qui porte la base.

Découpez ensuite le triangle ADH, puis déplacez-le par translation de l'autre côté de la figure.

Vous obtenez alors le rectangle HDCE. Ce rectangle possède exactement la même base et la même hauteur que le parallélogramme de départ. Comme seule la forme change et non la surface, les deux figures ont nécessairement la même aire.

L'aire d'un parallélogramme est donc identique à celle d'un rectangle ayant la même base et la même hauteur.

Or l'aire d'un rectangle est égale au produit de la base par la hauteur. Cette propriété s'applique donc naturellement au parallélogramme :

$$ A = b \times h $$

Calcul de l'aire à partir des coordonnées cartésiennes

Lorsque les coordonnées des sommets sont connues, il est également possible de calculer l'aire d'un parallélogramme sans mesurer directement sa base ni sa hauteur.

Si les sommets, pris dans l'ordre cyclique, sont \( (x_1, y_1) \), \( (x_2, y_2) \), \( (x_3, y_3) \) et \( (x_4, y_4) \), on applique la formule du lacet, également appelée formule de Gauss :

$$ A = \frac{1}{2} \left| x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_4 + x_4y_1 - (y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_4 + y_4x_1) \right| $$

Exemple

Appliquons cette méthode à un parallélogramme dont les sommets sont définis par les coordonnées suivantes :

$$ A (1, 2) $$

$$ B (4, 5) $$

$$ C (7, 4) $$

$$ D (4, 1) $$

Écrivons les coordonnées dans l'ordre cyclique :

$$ (x_1, y_1) = (1, 2) \\
(x_2, y_2) = (4, 5) \\
(x_3, y_3) = (7, 4) \\
(x_4, y_4) = (4, 1) $$

Appliquons ensuite la formule :

$$ A = \frac{1}{2} \left| x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_4 + x_4y_1 - (y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_4 + y_4x_1) \right| $$

Remplaçons les variables par leurs valeurs :

$$ A = \frac{1}{2} \left| 1 \cdot 5 + 4 \cdot 4 + 7 \cdot 1 + 4 \cdot 2 - (2 \cdot 4 + 5 \cdot 7 + 4 \cdot 4 + 1 \cdot 1) \right| $$

Calculons les différents produits :

$$ A = \frac{1}{2} \left| 5 + 16 + 7 + 8 - (8 + 35 + 16 + 1) \right| $$

$$ A = \frac{1}{2} \left| 36 - 60 \right| $$

$$ A = \frac{1}{2} \left| -24 \right| $$

$$ A = \frac{1}{2} \cdot 24 $$

$$ A = 12 $$

L'aire de ce parallélogramme est donc égale à \( 12 \, \text{unités carrées} \).

Pour vérifier ce résultat, on peut également utiliser la formule classique \( A = b \times h \). Dans cet exemple, la base mesure environ \( 4{,}2426 \) unités et la hauteur correspondante environ \( 2{,}8284 \) unités.

$$ A = b \cdot h = 4{,}2426 \cdot 2{,}8284 \approx 12 $$

Les deux méthodes donnent exactement le même résultat, ce qui confirme la validité du calcul.