Carré

Un carré est un parallélogramme dont les quatre côtés ont la même longueur et dont les quatre angles sont droits.

On peut également définir le carré comme un parallélogramme dont les quatre côtés sont égaux et les quatre angles droits. Il réunit ainsi les propriétés du losange et du rectangle, ce qui en fait l'une des figures les plus importantes de la géométrie plane.

Propriétés du carré

Le carré possède toutes les propriétés du losange :

• Ses quatre côtés sont de même longueur.
• Ses diagonales sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu.
• Ses diagonales sont les bissectrices des angles intérieurs.

Il possède également toutes les propriétés du rectangle :

• Ses quatre angles intérieurs mesurent 90°.
• Ses diagonales sont de même longueur.

Formules du carré

Les principales formules utilisées pour calculer les dimensions d'un carré sont les suivantes.

• Périmètre
  Le périmètre d'un carré est égal à quatre fois la longueur de son côté \(l\) : $$ P = 4 \cdot l = l + l + l + l $$
• Aire
  L'aire d'un carré est égale au carré de la longueur de son côté : $$ A = l^2 $$
  Elle peut aussi être calculée à partir de la diagonale \(d\) : $$ A=\frac{d^2}{2} $$
• Diagonale
  La diagonale d'un carré est donnée par la formule : $$ d = l \cdot \sqrt{2} $$

  Remarque : Cette relation provient directement du théorème de Pythagore. La diagonale est l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les deux côtés de l'angle droit correspondent à deux côtés du carré. $$ d = \sqrt{l^2+l^2} $$ $$ d = \sqrt{2 \cdot l^2} $$ En simplifiant, on obtient : $$ d = l \cdot \sqrt{2} $$
  

• Côté
  La longueur du côté peut être déterminée de plusieurs façons :
  • à partir du périmètre : $$ l = \frac{P}{4} $$
  • à partir de l'aire : $$ l = \sqrt{A} $$
  • à partir du rayon \(r\) du cercle circonscrit : $$ l = r \cdot \sqrt{2} $$

  Remarque : Cette dernière formule résulte également du théorème de Pythagore. Les deux rayons reliant le centre du cercle aux extrémités d'un côté du carré forment un triangle rectangle. $$ l = \sqrt{r^2+r^2} $$ $$ l = \sqrt{2r^2} $$ Après simplification, on obtient : $$ l = r \cdot \sqrt{2} $$
  

• Côté et cercle inscrit
  La longueur du côté d'un carré est égale au double du rayon de son cercle inscrit : $$ l = 2r $$

  Remarque : Le diamètre du cercle inscrit est égal à la longueur du côté du carré. Le cercle est tangent aux quatre côtés et constitue le plus grand cercle pouvant être inscrit dans cette figure.
  
  Vous pouvez également consulter la relation entre le rayon du cercle inscrit et le côté du carré.

Comment construire un carré

La construction suivante permet d'obtenir un carré à la règle et au compas.

Tracez d'abord le segment AB, qui formera le premier côté du carré.

Placez la pointe du compas en A et tracez un arc de cercle de rayon quelconque.

Cet arc coupe le segment AB au point C.

Sans modifier l'ouverture du compas, placez-le en C et tracez un second arc qui coupe le premier au point D.

Conservez la même ouverture, placez le compas en D, puis tracez un troisième arc qui coupe le premier au point E.

Placez ensuite le compas en E et tracez un nouvel arc qui coupe le précédent au point F.

Tracez la droite passant par A et F.

Cette droite est perpendiculaire au segment AB.

Réglez ensuite le compas sur la longueur AB. En le plaçant en A, tracez un arc qui coupe la droite perpendiculaire au point G.

Sans modifier l'ouverture, placez le compas en G et tracez un nouvel arc.

Enfin, placez le compas en B et tracez un dernier arc qui coupe le précédent au point H.

Reliez les points A, B, G et H.

Le quadrilatère ABGH obtenu est un carré.

Il est également possible de construire un carré inscrit dans un cercle.

Remarques

Voici quelques propriétés remarquables du carré, accompagnées de leur démonstration.

• Les diagonales d'un carré ont la même longueur

  Démonstration : Considérons un carré ABCD. Par définition, ses quatre côtés sont de même longueur et ses quatre angles sont droits. Les triangles ABD et ABC sont congruents d'après le critère côté-angle-côté. En effet, ils ont le côté AB en commun, les côtés AD et BC sont égaux, et les angles DAB et ABC sont tous deux droits.
  
  Deux triangles congruents ont leurs côtés homologues de même longueur. Les hypoténuses BD et AC sont donc égales : AC≅BD. Or AC et BD sont les diagonales du carré. On en conclut que les diagonales d'un carré sont toujours de même longueur.

• Un parallélogramme est un carré si ses diagonales sont de même longueur et perpendiculaires

  Démonstration : Soit un parallélogramme ABCD dont les diagonales AC et BD sont à la fois de même longueur et perpendiculaires. Les diagonales d'un parallélogramme se coupant toujours en leur milieu, leur point d'intersection M vérifie AM≅CM et BM≅DM. Comme AC≅BD, on obtient également AM≅BM≅CM≅DM.
  
  Les triangles AMD et CDM sont alors congruents selon le critère côté-angle-côté. Ils possèdent le côté DM en commun, les côtés AM et CM sont égaux, et les angles AMD et CMD sont droits puisque les diagonales sont perpendiculaires.
  
  Les hypoténuses AD et CD sont donc égales. Comme AD et CD sont deux côtés consécutifs du parallélogramme, et que les côtés opposés d'un parallélogramme sont toujours égaux, les quatre côtés de ABCD ont la même longueur. La figure est donc un losange. Par ailleurs, un parallélogramme dont les diagonales sont de même longueur est un rectangle. ABCD est ainsi à la fois un losange et un rectangle : c'est donc un carré.

• Une diagonale partage un carré en deux triangles rectangles isocèles

  Démonstration : Dans un carré ABCD, tous les côtés sont égaux et tous les angles sont droits. La diagonale AC partage le carré en deux triangles : ABC et ACD. Le triangle ABC est rectangle en B, puisque l'angle ABC mesure 90°, et isocèle car AB≅BC. De la même manière, le triangle ACD est rectangle en D et isocèle puisque AD≅CD.
  
  Le même raisonnement s'applique à la diagonale BD, qui partage également le carré en deux triangles rectangles isocèles.
  

• Les deux diagonales partagent le carré en quatre triangles rectangles isocèles

  Démonstration : Le carré ABCD est un parallélogramme. Ses diagonales se coupent donc en leur milieu, au point M.
  
  Dans un carré, les diagonales ont en outre la même longueur. Les quatre demi-diagonales sont donc égales : AM≅BM≅CM≅DM. Chacun des triangles ABM, BCM, CDM et ADM possède ainsi deux côtés de même longueur : ce sont quatre triangles isocèles. Les diagonales étant perpendiculaires, chacun de ces triangles est également rectangle. Les diagonales d'un carré le partagent donc en quatre triangles rectangles isocèles.

• Un parallélogramme est un carré si ses diagonales sont de même longueur et si l'une d'elles est la bissectrice d'un angle

  Démonstration : Considérons un parallélogramme ABCD dont les diagonales AC et BD sont de même longueur. Supposons en outre que la diagonale AC soit la bissectrice de l'angle DAB. Elle partage alors cet angle en deux angles égaux : α'≅α''.
  
  Les côtés opposés d'un parallélogramme étant parallèles, on a AD||BC et AB||CD. La diagonale AC est donc une sécante aux droites parallèles AD et BC. D'après le théorème des droites parallèles, les angles alternes-internes α'' et γ sont égaux.
  
  Comme α'≅α'' par hypothèse et α''≅γ, on obtient α'≅γ. Le triangle ABC possède donc deux angles égaux et est par conséquent isocèle. Il en résulte que AB≅BC. Ces deux côtés étant consécutifs dans le parallélogramme, et les côtés opposés étant égaux, les quatre côtés de ABCD ont la même longueur.
  
  Le parallélogramme est donc un losange. Comme ses diagonales sont également de même longueur, il est aussi un rectangle. Il réunit ainsi les propriétés d'un losange et d'un rectangle : ABCD est donc un carré.

Ces résultats illustrent les nombreuses propriétés géométriques du carré. Beaucoup d'autres peuvent être démontrées à partir de sa définition et des propriétés générales des parallélogrammes.