Relation entre le côté d'un carré et le rayon du cercle circonscrit
Le côté d'un carré et le rayon de son cercle circonscrit sont liés par une relation géométrique simple. Cette propriété permet de déterminer facilement l'une de ces deux grandeurs à partir de l'autre et constitue un résultat classique de la géométrie euclidienne.
- La longueur du côté d'un carré est égale au rayon du cercle circonscrit multiplié par la racine carrée de deux. $$ l = r \cdot \sqrt{2} $$
- Comme le diamètre du cercle circonscrit est égal à la diagonale du carré, le côté peut également s'exprimer en fonction du diamètre ou de la diagonale : $$ l = \frac{2r}{\sqrt{2}} = \frac{d}{\sqrt{2}} $$
Exemple pratique
Considérons un carré dont le côté mesure 3. Le rayon de son cercle circonscrit vaut alors \(r = 2{,}1213\).
Vérifions d'abord cette relation avec la première formule :
$$ l = r \cdot \sqrt{2} $$
$$ 3 = 2{,}1213 \cdot \sqrt{2} \approx 3 $$
Le résultat est correct, la légère différence provenant de l'arrondi de la valeur du rayon.
Appliquons ensuite la seconde formule :
$$ l = \frac{2r}{\sqrt{2}} $$
$$ l = \frac{2 \cdot 2{,}1213}{\sqrt{2}} \approx 3 $$
On retrouve la même longueur pour le côté du carré.
Démonstration
Les deux formules se démontrent facilement à partir des propriétés géométriques du carré et du théorème de Pythagore.
1] Démonstration de la première formule
Considérons un carré inscrit dans son cercle circonscrit.
En reliant le centre \(O\) du cercle aux deux extrémités d'un côté du carré, on obtient un triangle rectangle isocèle. Les deux rayons forment les côtés de l'angle droit et le côté du carré constitue l'hypoténuse.
D'après le théorème de Pythagore :
$$ l = \sqrt{r^2 + r^2} $$
$$ l = \sqrt{2r^2} $$
$$ l = r \cdot \sqrt{2} $$
La première relation est ainsi démontrée.
2] Démonstration de la seconde formule
La diagonale d'un carré est égale à :
$$ d = l \cdot \sqrt{2} $$
La diagonale d'un carré est également le diamètre du cercle circonscrit. On peut donc écrire :
$$ d = 2r $$
En remplaçant \(d\) par \(2r\), on obtient :
$$ 2r = l \cdot \sqrt{2} $$
En divisant les deux membres par \(\sqrt{2}\), il vient :
$$ l = \frac{2r}{\sqrt{2}} $$
Autre démonstration. La seconde formule peut également être obtenue directement à partir de la première. En partant de $$ l = r \cdot \sqrt{2} $$ on multiplie l'expression par \(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\), ce qui ne change pas sa valeur : $$ l = r \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} $$ Puis on simplifie : $$ l = \frac{r \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}} $$ $$ l = \frac{r \cdot 2}{\sqrt{2}} $$ $$ l = \frac{2r}{\sqrt{2}} $$
Les deux démonstrations conduisent naturellement à la même relation entre le côté du carré et le rayon du cercle circonscrit.
