Diagonale d'un carré

La longueur de la diagonale d'un carré (d) s'obtient en multipliant la longueur de l'un de ses côtés (l) par la racine carrée de 2 :

$$ d = l \cdot \sqrt{2} $$

Cette relation est valable pour tous les carrés, quelle que soit leur taille. Le rapport entre la diagonale et le côté est toujours le même :

$$ \frac{d}{l} = \sqrt{2} $$

Grâce à cette formule, il est facile de calculer la longueur de la diagonale à partir du côté ou, à l'inverse, de retrouver la longueur du côté lorsque la diagonale est connue.

Exemple

Considérons un carré dont le côté mesure 4 unités.

$$ l = 4 $$

En appliquant la formule, on obtient :

$$ d = l \cdot \sqrt{2} $$

$$ d = 4 \cdot \sqrt{2} $$

$$ d \approx 5{,}66 $$

La diagonale mesure donc environ 5,66 unités.

Démonstration

Cette formule découle directement du théorème de Pythagore.

La diagonale partage le carré en deux triangles rectangles isocèles congruents.

Dans chacun de ces triangles, les deux côtés de l'angle droit sont les côtés du carré, de longueur l, et l'hypoténuse est la diagonale, de longueur d.

D'après le théorème de Pythagore :

$$ d^2 = l^2 + l^2 $$

En regroupant les termes semblables :

$$ d^2 = 2 \cdot l^2 $$

Comme d et l représentent des longueurs positives, on peut prendre la racine carrée des deux membres :

$$ \sqrt{d^2} = \sqrt{2 \cdot l^2} $$

$$ d = \sqrt{2} \cdot \sqrt{l^2} $$

$$ d = l \cdot \sqrt{2} $$

On retrouve ainsi la formule de la diagonale d'un carré.

Remarques

La diagonale d'un carré possède plusieurs propriétés remarquables. L'une des plus importantes est son incommensurabilité avec le côté.

• La diagonale et le côté d'un carré sont incommensurables
  Deux longueurs sont dites incommensurables lorsqu'il n'existe aucune unité de longueur commune permettant de les mesurer exactement à l'aide d'un nombre entier de répétitions. C'est précisément le cas du côté et de la diagonale d'un carré.

  Démonstration. Considérons le carré ABCD.
  
  Raisonnons par l'absurde et supposons que le côté AB et la diagonale AC soient commensurables. Il existerait alors une unité commune EF telle que : $$ \overline{AC} = m \cdot \overline{EF} $$ $$ \overline{AB} = n \cdot \overline{EF} $$ où m et n sont des entiers strictement positifs. On peut supposer que la fraction $\frac{m}{n}$ est irréductible, c'est-à-dire que m et n sont premiers entre eux. En appliquant le théorème de Pythagore au triangle rectangle ABC, on obtient : $$ \overline{AC}^2 = \overline{AB}^2 + \overline{BC}^2 $$ Comme tous les côtés d'un carré sont égaux : $$ \overline{AC}^2 = \overline{AB}^2 + \overline{AB}^2 $$ $$ \overline{AC}^2 = 2 \cdot \overline{AB}^2 $$ En remplaçant AC et AB par leurs expressions : $$ (m \cdot \overline{EF})^2 = 2 \cdot (n \cdot \overline{EF})^2 $$ $$ m^2 \cdot \overline{EF}^2 = 2 \cdot n^2 \cdot \overline{EF}^2 $$ En simplifiant par $\overline{EF}^2$, on obtient : $$ m^2 = 2 \cdot n^2 $$ Le nombre m² est donc pair, ce qui implique que m est pair. Il existe alors un entier k tel que : $$ m = 2k $$ En remplaçant cette expression dans l'équation précédente : $$ (2k)^2 = 2 \cdot n^2 $$ $$ 4k^2 = 2 \cdot n^2 $$ En divisant les deux membres par 2 : $$ 2k^2 = n^2 $$ Le nombre n² est donc lui aussi pair, ce qui entraîne que n est pair. Les deux entiers m et n sont donc divisibles par 2, ce qui contredit l'hypothèse selon laquelle ils étaient premiers entre eux. Cette contradiction montre que notre hypothèse de départ est fausse. Le côté et la diagonale d'un carré sont donc bien incommensurables. Cette propriété est équivalente à l'irrationalité du nombre $\sqrt{2}$.

Cette démonstration est l'un des exemples les plus célèbres d'un raisonnement par l'absurde en géométrie. Elle met en évidence une propriété fondamentale des carrés et explique pourquoi le nombre √2 occupe une place essentielle dans les mathématiques.