Polygones

Un polygone est une figure plane délimitée par une ligne polygonale fermée qui ne s'auto-intersecte pas, ainsi que par toute la région qu'elle enferme.

Les segments qui composent cette ligne polygonale fermée sont appelés les côtés du polygone.

Les points où deux côtés se rencontrent sont appelés les sommets du polygone.

Par convention, les côtés sont généralement désignés par des lettres minuscules, tandis que les sommets sont représentés par des lettres majuscules.

Le mot « polygone » provient du grec ancien πολύς (polys, « nombreux ») et γωνία (gōnia, « angle »). Son sens littéral est donc « plusieurs angles ». En géométrie plane, un polygone possède toujours au moins trois côtés, car il faut au minimum trois sommets distincts pour former une ligne polygonale fermée.

À chaque sommet d'un polygone correspondent un angle intérieur et un angle extérieur.

L'ensemble des points appartenant à la ligne polygonale fermée constitue le périmètre du polygone.

Les points situés à l'intérieur de cette ligne sont appelés points intérieurs, tandis que ceux qui se trouvent à l'extérieur sont appelés points extérieurs.

Comment classer les polygones ?

Les polygones peuvent être classés de différentes façons selon leurs propriétés géométriques.

On distingue tout d'abord les polygones simples et les polygones complexes.

Un polygone est dit simple lorsque deux côtés non consécutifs ne se coupent jamais.

Lorsque des côtés non adjacents se croisent, il s'agit d'un polygone complexe, également appelé polygone auto-intersectant.

Une autre classification repose sur la congruence des côtés et des angles.

Un polygone est dit régulier lorsque tous ses côtés ont la même longueur et que tous ses angles ont la même mesure.

Dans le cas contraire, on parle de polygone irrégulier.

Par exemple, un carré est un polygone régulier parce que tous ses côtés et tous ses angles sont égaux. À l'inverse, un rectangle est considéré comme irrégulier puisque ses côtés ne sont pas tous de même longueur. De même, un triangle équilatéral est régulier, alors qu'un triangle scalène est irrégulier.

Les polygones peuvent également être classés selon leur convexité ou leur concavité, ainsi qu'en fonction de leur nombre de côtés.

Polygones convexes et concaves

Selon leur forme, les polygones se répartissent en deux grandes catégories : les polygones convexes et les polygones concaves.

• Polygones convexes
  Un polygone est dit convexe lorsque, pour deux points quelconques A et B situés à l'intérieur de la figure, le segment AB reste entièrement contenu dans le polygone. Aucun point du segment ne se trouve alors à l'extérieur de la figure. Tous les angles intérieurs d'un polygone convexe sont strictement inférieurs à 180 degrés.
  

  Remarque : un polygone convexe ne possède que des angles convexes. De plus, toute droite supportant l'un de ses côtés laisse le polygone entièrement situé dans l'un des deux demi-plans qu'elle détermine.

• Polygones concaves
  Un polygone est dit concave, ou non convexe, lorsqu'il existe au moins deux points A et B tels que le segment AB ne soit pas entièrement contenu dans la figure. Une partie de ce segment se trouve alors à l'extérieur du polygone.
  

  Remarque : un polygone concave possède nécessairement au moins quatre côtés. Il comporte également au moins un angle intérieur supérieur à 180 degrés, appelé angle rentrant.

Les principaux types de polygones

Les polygones portent des noms différents selon le nombre de côtés qu'ils possèdent.

Polygone	Nombre de côtés
Triangle	3 côtés
Quadrilatère	4 côtés
Pentagone	5 côtés
Hexagone	6 côtés
Heptagone	7 côtés
Octogone	8 côtés
Ennéagone	9 côtés
Décagone	10 côtés
Hendécagone	11 côtés
Dodécagone	12 côtés

Diagonales et cordes d'un polygone

Une diagonale est un segment qui relie deux sommets non consécutifs d'un polygone.

Par exemple, les segments EC et EB représentent deux diagonales du polygone.

Combien de diagonales possède un polygone ? Un polygone à n sommets possède n⋅(n-3)/2 diagonales. $$ \frac{n \cdot (n-3)}{2} $$ Par exemple, un pentagone possède n=5 sommets. Le nombre de diagonales est donc : $$ \frac{5 \cdot (5-3)}{2} = \frac{5 \cdot 2}{2} = \frac{10}{2} = 5 $$ Il suffit de tracer toutes les diagonales du pentagone puis de les compter pour vérifier ce résultat.

Une corde est un segment reliant deux points quelconques du périmètre d'un polygone qui n'appartiennent pas au même côté.

Tout polygone possède une infinité de cordes, puisque son périmètre contient lui-même une infinité de points.

À retenir

Voici quelques propriétés fondamentales des polygones.

• Deux polygones sont congruents s'ils sont superposables par une isométrie
  Deux polygones congruents possèdent des côtés et des angles correspondants égaux, disposés dans le même ordre. Ils ont donc exactement les mêmes dimensions.
• Le périmètre d'un polygone
  Le périmètre d'un polygone est égal à la somme des longueurs de tous ses côtés.
• Somme des angles intérieurs
  Pour un polygone à n côtés, la somme des angles intérieurs est donnée par la formule : $$ (n-2) \cdot 180° $$

  Par exemple, un carré possède n=4 côtés. La somme de ses angles intérieurs vaut donc : $$ (4-2) \cdot 180° = 2 \cdot 180° = 360° $$ Cette valeur correspond bien aux quatre angles droits de 90° que possède un carré.

• Relation entre côtés, sommets et angles
  Un polygone à n côtés possède également n sommets et n angles.

  Chaque côté est délimité par deux sommets. Comme chaque sommet appartient à deux côtés, le nombre de sommets est égal au nombre de côtés. De la même manière, chaque sommet détermine un angle, ce qui explique pourquoi le nombre d'angles est lui aussi égal au nombre de côtés.