Rectangle

Un rectangle est un parallélogramme dont les quatre angles sont droits.

Le rectangle est l'une des figures géométriques les plus courantes. Il hérite de toutes les propriétés d'un parallélogramme et possède en plus plusieurs caractéristiques qui lui sont propres.

Comme tout parallélogramme, un rectangle vérifie les propriétés suivantes :

• Ses côtés opposés sont parallèles et de même longueur.
• Ses angles opposés sont égaux.
• Deux angles consécutifs sont supplémentaires.
• Ses diagonales se coupent en leur milieu.

Sa propriété la plus caractéristique est que ses quatre angles sont droits et mesurent chacun 90°.

Comme tout quadrilatère, la somme des angles intérieurs d'un rectangle est égale à 360°. Les quatre angles étant égaux, chacun mesure donc : $$ \frac{360°}{4}=90° $$

Une autre propriété essentielle est que les diagonales d'un rectangle ont toujours la même longueur.

Chaque diagonale partage le rectangle en deux triangles rectangles isométriques.

Lorsque les deux diagonales sont tracées, elles divisent le rectangle en quatre triangles isocèles, isométriques deux à deux.

Base et hauteur d'un rectangle

La base et la hauteur d'un rectangle sont également appelées ses dimensions.

Dans un rectangle, n'importe quel côté peut être choisi comme base. Le côté adjacent devient alors la hauteur.

Par exemple, dans le rectangle ABCD, le segment AB peut être pris comme base et le segment BC, ou AD, comme hauteur.

On peut tout aussi bien choisir BC comme base et CD, ou AB, comme hauteur.

Propriétés complémentaires

Les propriétés suivantes permettent de mieux comprendre les caractéristiques géométriques du rectangle et servent fréquemment dans les démonstrations.

• Les diagonales d'un rectangle sont de même longueur
  

  Démonstration. Un rectangle est un parallélogramme. Ses côtés opposés sont donc de même longueur : AB≅CD et AD≅BC. Par ailleurs, les angles DAB et ABC sont droits.
  
  Les triangles ABD et ABC possèdent un côté commun (AB), un deuxième côté de même longueur (AD≅BC) et l'angle compris est égal. D'après le premier critère d'isométrie des triangles, ces deux triangles sont isométriques. Les côtés correspondants AC et BD sont donc égaux. Les diagonales d'un rectangle ont ainsi toujours la même longueur.

• Chaque diagonale partage le rectangle en deux triangles rectangles isométriques

  Démonstration. La diagonale AC partage le rectangle ABCD en deux triangles : ABC et ACD.
  
  Les deux triangles possèdent le côté AC en commun. De plus, AB≅CD et AD≅BC. Les trois côtés correspondants sont donc égaux. Le troisième critère d'isométrie des triangles (côté-côté-côté) permet de conclure que les triangles ABC et ACD sont isométriques. Comme chacun possède un angle droit, ce sont également des triangles rectangles. Le même raisonnement s'applique à la diagonale BD.

• Les diagonales partagent le rectangle en quatre triangles isocèles, isométriques deux à deux

  Démonstration. Les diagonales d'un rectangle sont de même longueur et se coupent en leur milieu M. On obtient donc : $$ AM=CM=\frac{AC}{2} $$ $$ BM=DM=\frac{BD}{2} $$ Comme AC=BD, on en déduit : $$ AM=BM=CM=DM $$
  
  Les triangles ABM, BMC, CMD et DMA possèdent chacun deux côtés de même longueur. Ils sont donc isocèles. Les triangles opposés AMD et BMC sont isométriques, tout comme ABM et CDM, d'après le critère côté-côté-côté.

• Un parallélogramme est un rectangle si l'un de ses angles est droit
  Si un parallélogramme possède un angle de 90°, alors les trois autres angles sont également droits. Il s'agit donc nécessairement d'un rectangle.

  Démonstration. Dans un parallélogramme, deux angles consécutifs sont supplémentaires. Leur somme vaut donc 180°. Si l'un d'eux mesure 90° : $$ 180°-90°=90° $$ Les angles opposés étant égaux dans tout parallélogramme, les deux autres angles mesurent eux aussi 90°. Les quatre angles sont donc droits, ce qui démontre que le parallélogramme est un rectangle.
  

• Un parallélogramme est un rectangle si ses diagonales sont de même longueur

  Démonstration. Soit le parallélogramme ABCD tel que AC≅BD.
  
  Comme ABCD est un parallélogramme : $$ AB\cong CD $$ $$ BC\cong AD $$
  Les triangles ABC et BAD possèdent alors trois côtés correspondants égaux. D'après le troisième critère d'isométrie des triangles, ils sont isométriques. Les angles correspondants sont donc égaux : $$ \alpha=\beta $$ Or deux angles consécutifs d'un parallélogramme sont supplémentaires : $$ \alpha+\beta=180° $$ En remplaçant $$ \beta $$ par $$ \alpha $$ : $$ 2\alpha=180° $$ $$ \alpha=\frac{180°}{2} $$ $$ \alpha=90° $$ Donc : $$ \beta=90° $$ Le parallélogramme possède un angle droit. D'après la propriété précédente, il s'agit donc d'un rectangle.

Et ainsi de suite...