Calcul de l'aire d'un rectangle

L'aire d'un rectangle correspond au produit de sa base par sa hauteur : $$ A = b \ \times \ h $$

Calculer l'aire d'un rectangle est l'une des premières notions de géométrie. Cette formule simple permet de mesurer la surface d'une figure rectangulaire et trouve de nombreuses applications dans la vie quotidienne.

Imaginez, par exemple, que le rectangle représente le sol d'une pièce. Pour connaître la surface à recouvrir avec du parquet, du carrelage ou de la moquette, il suffit de multiplier la longueur par la largeur.

Supposons qu'une pièce mesure 5 mètres de long et 3 mètres de large. Son aire se calcule en multipliant ces deux dimensions.

On obtient ainsi une aire de 15 mètres carrés.

$$ A = 5 \ mètres \ \times \  3 \ mètres = 15 \ mètres \ carrés \ (m^2) $$

En utilisant les symboles normalisés des unités de mesure, on écrit :

$$ A = 5 \ m \times 3 \ m = 15 \ m^2 $$

De manière générale, si L désigne la longueur et l la largeur, l'aire A d'un rectangle est donnée par la formule :

$$ A = L \times l $$

Autrement dit :

$$ Aire = Longueur \ \times \ Largeur $$

Cette relation est valable pour tous les rectangles, quelles que soient leurs dimensions.

Démonstration de la formule

Montrons maintenant pourquoi cette formule est toujours vraie.

Considérons un carré Q dont le côté mesure exactement une unité de longueur : u = 1 mètre.

Par définition, ce carré possède une aire de 1 mètre carré. Il constitue l'unité de référence utilisée pour mesurer les surfaces.

$$ U = 1 \ m² $$

Considérons ensuite deux rectangles.

Le premier, noté R', possède une base égale à l'unité de longueur (u = 1 m) et une hauteur h.

Le second, noté R'', possède une base b et la même hauteur h.

Notons leurs aires respectives A' et A''.

Comme ces deux rectangles ont la même hauteur, leurs aires sont directement proportionnelles à leurs bases.

$$ \frac{A''}{A'} = \frac{b}{u} $$

Or, pour le rectangle R', la base vaut exactement une unité de longueur :

$$ u = 1 \ m $$

La relation précédente devient donc :

$$ \frac{A''}{A'} = \frac{b}{1 \ m} $$

En multipliant les deux membres par A', on obtient :

$$ A'' = A' \cdot \frac{b}{1 \ m} $$

Il reste à déterminer l'aire A' du rectangle R'.

Pour cela, comparons-le au carré unité Q.

Le rectangle R' et le carré Q possèdent la même base (u = 1 m). Leurs aires sont donc proportionnelles à leurs hauteurs.

$$ \frac{A'}{U} = \frac{h}{u} $$

En remplaçant U par 1 m² et u par 1 m, on obtient :

$$ \frac{A'}{1 \ m²} = \frac{h}{1 \ m} $$

Multiplions maintenant les deux membres par 1 m² :

$$ \frac{A'}{1 \ m²} \cdot 1 \ m² = \frac{h}{1 \ m} \cdot 1 \ m² $$

Ce qui conduit à :

$$ A' = h \cdot m $$

L'aire du rectangle R' est donc égale au produit de sa hauteur par une unité de longueur.

$$ A' = h \cdot m $$

Il suffit maintenant de remplacer cette expression dans la relation obtenue précédemment :

$$ A'' = A' \cdot \frac{b}{1 \ m} $$

$$ A'' = (h \cdot m) \cdot \frac{b}{1 \ m} $$

Si b et h représentent les valeurs numériques de la base et de la hauteur exprimées en mètres, on obtient :

$$ A'' = b \cdot h \cdot m^2 $$

Autrement dit :

$$ A'' = b \cdot h \ m² $$

Nous démontrons ainsi que l'aire d'un rectangle est toujours égale au produit de sa base par sa hauteur. Lorsque ces deux dimensions sont exprimées en mètres, l'aire est exprimée en mètres carrés.

Le même raisonnement s'applique à tous les rectangles, quelle que soit leur taille ou l'unité de longueur utilisée.