Somme des angles intérieurs d'un polygone convexe
Dans tout polygone convexe à n côtés, la somme des mesures des angles intérieurs est donnée par la formule suivante : $$ (n-2) \cdot 180° $$
Autrement dit, il suffit de connaître le nombre de côtés du polygone pour calculer immédiatement la somme de ses angles intérieurs.
Voyons cette formule à travers quelques exemples simples.
Un triangle possède n = 3 côtés.
En appliquant la formule, on obtient :
$$ (n-2) \cdot 180° $$
$$ (3-2) \cdot 180° = 180° $$
La somme des mesures des angles intérieurs d'un triangle est donc égale à 180°.
Considérons maintenant un rectangle, qui possède n = 4 côtés.
La formule donne :
$$ (n-2) \cdot 180° $$
$$ (4-2) \cdot 180° $$
$$ 2 \cdot 180° = 360° $$
La somme des angles intérieurs d'un rectangle est donc de 360°.
Prenons enfin un pentagone, pour lequel n = 5.
En appliquant la même formule :
$$ (n-2) \cdot 180° $$
$$ (5-2) \cdot 180° $$
$$ 3 \cdot 180° = 540° $$
La somme des angles intérieurs d'un pentagone est donc égale à 540°.
Cette formule est valable pour tout polygone convexe, quel que soit son nombre de côtés.
Démonstration de la formule
La démonstration est simple et repose sur une propriété fondamentale des triangles.
Considérons un polygone convexe quelconque à n côtés, par exemple un pentagone (n = 5).
Le polygone peut être régulier ou irrégulier : cela ne change rien à la démonstration. Il suffit qu'il soit convexe.
Choisissons un point intérieur $ P $ et relions-le à chacun des sommets du polygone.
Le polygone est alors décomposé en n triangles.
Comme la somme des angles intérieurs de chaque triangle est égale à 180°, la somme des angles des n triangles vaut :
$$ n \cdot 180° $$
Cette somme comprend toutefois les angles autour du point $ P $, qui forment ensemble un angle plein de 360°. Il faut donc les retrancher :
$$ n \cdot 180° - 360° $$
Or :
$$ 360° = 2 \cdot 180° $$
D'où :
$$ n \cdot 180° - 2 \cdot 180° $$
En mettant 180° en facteur commun, on obtient :
$$ (n - 2) \cdot 180° $$
On retrouve ainsi la formule générale de la somme des angles intérieurs d'un polygone convexe.
Remarque. Pour un pentagone (n = 5), on obtient bien : $$ (5 - 2) \cdot 180° = 3 \cdot 180° = 540° $$
Autre démonstration
Il existe une seconde démonstration, tout aussi simple.
Considérons de nouveau un polygone convexe à n côtés, par exemple un pentagone.
Choisissons un sommet, puis traçons toutes les diagonales possibles issues de ce sommet.
Prenons le sommet A.
À partir d'un sommet d'un polygone à n côtés, on peut tracer n-3 diagonales. Celles-ci décomposent le polygone en n-2 triangles.
Dans notre exemple :
$$ n - 2 = 5 - 2 = 3 \ \text{triangles} $$
Le pentagone est donc partagé en trois triangles : ADE, ACD et ABC.
Comme la somme des angles intérieurs d'un triangle est égale à 180°, la somme des angles intérieurs du pentagone est simplement :
$$ 180° \cdot 3 = 540° $$
La somme des mesures des angles intérieurs d'un pentagone est donc de 540°.
Cette démonstration s'étend naturellement à tout polygone convexe, quel que soit son nombre de côtés.
