Angles supplémentaires
Angles supplémentaires désignent deux angles dont la somme est égale à 180° (π radians).
Autrement dit, lorsque l’on additionne deux angles et que l’on obtient un angle plat, ces deux angles sont dits « supplémentaires ».
Cette relation ne dépend ni de leur position ni de leur orientation dans le plan : seule compte la somme de leurs mesures.
La notion d’angles supplémentaires s’applique toujours à deux angles. Un angle seul ne peut pas être qualifié de supplémentaire.
Exemple
Considérons les deux angles suivants :
$$ \alpha = 60° $$
$$ \beta = 120° $$
En les additionnant, on obtient :
$$ \alpha + \beta = 180° $$
La somme est donc un angle plat. Les angles \( \alpha \) et \( \beta \) sont bien supplémentaires.
Propriétés essentielles
Les angles supplémentaires possèdent plusieurs propriétés importantes, très utiles en géométrie :
- Chaque angle possède un supplément
Pour trouver l’angle supplémentaire d’un angle donné, il suffit de soustraire sa mesure à 180 degrés.
Par exemple, si : $$ \alpha = 120° $$ alors : $$ \beta = 180° - \alpha = 180° - 120° = 60° $$
Ce calcul permet de déterminer immédiatement le supplément de n’importe quel angle.
- Deux droites sécantes forment des angles supplémentaires
Lorsque deux droites se coupent, les angles adjacents qu’elles forment sont supplémentaires deux à deux.
Cette propriété est fondamentale pour analyser des figures et résoudre des problèmes géométriques.
- Angles adjacents et angles supplémentaires
Deux angles sont adjacents lorsqu’ils partagent un sommet et un côté, et que leurs autres côtés sont alignés sur une même droite.
Dans ce cas, ils sont nécessairement supplémentaires.
Réciproquement, deux angles supplémentaires qui partagent un côté sont adjacents.
- Suppléments d’angles congruents
Si deux angles, \( \alpha \) et \( \alpha' \), sont respectivement les suppléments de deux angles congruents \( \beta \cong \beta' \), alors \( \alpha \) et \( \alpha' \) sont eux aussi congruents.
Démonstration. Soient \( \alpha \) et \( \alpha' \) deux angles tels que : $$ \alpha + \beta = 180^\circ $$ $$ \alpha' + \beta' = 180^\circ $$ Si \( \beta \cong \beta' \), alors : $$ \alpha = 180^\circ - \beta $$ $$ \alpha' = 180^\circ - \beta' $$ En remplaçant \( \beta' \) par \( \beta \), on obtient : $$ \alpha = 180^\circ - \color{red}{\beta'} $$ $$ \alpha' = 180^\circ - \beta' $$ On en déduit que \( \alpha \cong \alpha' \). $$ \alpha \cong \alpha' $$ ce qu’il fallait démontrer.
Ces propriétés constituent des outils de base pour raisonner efficacement en géométrie plane.
