Conversion entre degrés et radians

Pour passer des degrés aux radians, et inversement, on utilise les relations suivantes : $$ \alpha ° = \alpha_{rad} \cdot \frac{180°}{ \pi } $$ $$ \alpha_{rad} = \alpha ° \cdot \frac{ \pi }{ 180° } $$

Exemple

Prenons un angle de 60°.

$$ \alpha = 60° $$

Pour le convertir en radians, on applique directement la formule :

$$ \alpha_{rad} = \alpha ° \cdot \frac{ \pi }{ 180° } $$

$$ \alpha_{rad} = 60° \cdot \frac{ \pi }{ 180° } $$

$$ \alpha_{rad} = \frac{1}{3} \pi $$

Un angle de 60° correspond donc à \( \frac{1}{3} \pi \) radians.

Exemple 2

Considérons maintenant un angle de \( \frac{2}{3} \pi \) radians.

$$ \alpha = \frac{2}{3} \pi \ rad $$

Pour le convertir en degrés, on utilise l'autre relation :

$$ \alpha ° = \alpha_{rad} \cdot \frac{180°}{ \pi } $$

$$ \alpha ° = \frac{2}{3} \pi \cdot \frac{180°}{ \pi } $$

$$ \alpha ° = \frac{2}{3} \cdot 180° $$

$$ \alpha ° = 120° $$

Un angle de \( \frac{2}{3} \pi \) radians correspond donc à 120°.

Démonstration

Ces formules reposent sur une idée simple : un tour complet vaut à la fois 360° et \( 2\pi \) radians. Les mesures en degrés et en radians sont donc proportionnelles.

$$ \alpha ° \ : \ \alpha_{rad} = 360° \ : \ 2 \pi $$

On peut écrire cette proportion sous forme de rapport :

$$ \frac{ \alpha ° }{ \alpha_{rad} } = \frac{ 360° }{ 2 \pi } $$

En simplifiant, on obtient :

$$ \frac{ \alpha ° }{ \alpha_{rad} } = \frac{ 180° }{ \pi } $$

Il suffit ensuite d'isoler la grandeur cherchée :

$$ \alpha ° = \alpha_{rad} \cdot \frac{ 180° }{ \pi } $$

$$ \alpha_{rad} = \alpha ° \cdot \frac{ \pi }{ 180° } $$

Ces relations permettent de convertir facilement un angle dans un sens comme dans l'autre.