Calcul de la longueur d’un arc de cercle
La longueur d’un arc de cercle (l) se calcule simplement en multipliant la mesure de l’angle au centre, exprimée en radians (α), par le rayon du cercle (r). $$ l = \alpha \cdot r $$
Exemple
Appliquons directement cette formule pour déterminer la longueur d’un arc.
L’angle au centre vaut π/3, ce qui correspond à 60°, et le rayon du cercle est r = 5 cm.
En remplaçant les valeurs dans la formule, on obtient :
$$ l = \alpha \cdot r $$ $$ l = \frac{\pi}{3} \cdot 5 \ cm $$ $$ l = \frac{3,14 \cdot 5}{3} \ cm $$ $$ l = 5,23 \ cm $$
La longueur de l’arc est donc égale à 5,23 cm.
Remarque : l’angle doit impérativement être exprimé en radians. S’il est donné en degrés, comme c’est souvent le cas, il faut d’abord le convertir avant d’utiliser la formule.
Démonstration
Cette formule repose directement sur la définition des radians.
Un angle mesuré en radians est défini comme le rapport entre la longueur de l’arc (l) et le rayon du cercle (r) :
$$ \alpha = \frac{ l }{ r } $$
En isolant l dans cette relation, on retrouve immédiatement la formule :
$$ l = \alpha \cdot r $$
Cette écriture montre pourquoi les radians sont particulièrement adaptés à l’étude des angles : ils relient directement la mesure de l’angle à une longueur.
