Comparaison des angles

En géométrie, il est souvent nécessaire de comparer deux angles afin de déterminer s'ils ont la même ouverture ou si l'un est plus grand que l'autre.

L'une des méthodes les plus classiques pour effectuer cette comparaison est la méthode de superposition.

1. Considérons deux angles, α et β, que l'on souhaite comparer :
   
2. La première étape consiste à faire coïncider le sommet O du premier angle (α) avec le sommet O' du second angle (β) à l'aide d'une translation :
   
3. On effectue ensuite une rotation de l'un des côtés du premier angle (α) jusqu'à ce qu'il coïncide avec l'un des côtés du second angle (β) :
   
4. Si les deux autres côtés coïncident également, alors les deux angles sont congruents. Cela signifie qu'ils possèdent exactement la même mesure, exprimée en degrés ou en radians :
   
   

   En revanche, si les autres côtés ne coïncident pas, les angles ne sont pas congruents. Dans ce cas, l'un des angles est plus grand que l'autre. Un angle est considéré comme plus petit lorsqu'il est entièrement contenu dans la région angulaire de l'autre angle. Dans le cas contraire, il est plus grand.

   Prenons un nouvel exemple avec deux angles α et β, puis appliquons la même méthode de superposition :
   
   Ici, l'angle α (en bleu) est entièrement contenu dans la région angulaire de l'angle β (en rouge). L'angle α est donc inférieur à β. On peut ainsi écrire que α<β, ou inversement que β>α.

Différence entre angles congruents et angles égaux

En géométrie, les expressions angles congruents et angles égaux ne désignent pas exactement la même chose.

Deux angles sont dits congruents lorsqu'ils peuvent être superposés par des déplacements rigides, comme une translation ou une rotation. Ils possèdent alors la même amplitude, même s'ils ne se trouvent pas au même endroit dans le plan.

En revanche, parler d'angles égaux supposerait que les deux figures coïncident point par point dans le plan, ce qui constitue une condition beaucoup plus restrictive.

Par exemple, deux angles α et β peuvent mesurer chacun 90° tout en étant dessinés à des positions différentes. Dans ce cas, on dit qu'ils sont congruents et l'on écrit α≅β.

Tous les angles égaux sont donc congruents. En revanche, des angles congruents ne sont pas nécessairement égaux au sens strict.

Remarque : La notion de congruence est étroitement liée aux isométries, puisque celles-ci permettent de superposer des figures géométriques sans en modifier les dimensions ni la forme.

Autres méthodes pour comparer des angles

La méthode de superposition n'est pas la seule façon de comparer des angles. En géométrie, il existe également d'autres approches.

• Mesure directe
  Cette méthode consiste à utiliser un rapporteur. On place le centre du rapporteur sur le sommet de l'angle, puis on aligne sa base avec l'un des côtés de l'angle. Il devient alors possible de lire directement la mesure de l'angle sur l'échelle graduée du rapporteur.
  Par exemple, l'angle α mesure 60°.
  
  On répète ensuite la même opération pour l'angle β. Les mesures obtenues permettent alors de comparer directement les amplitudes des deux angles.
• Calculs mathématiques
  Lorsque les vecteurs définissant les côtés des angles sont connus, il est possible de calculer leur amplitude à l'aide de formules trigonométriques. Par exemple, l'angle entre deux vecteurs peut être déterminé grâce au produit scalaire. Une fois les mesures calculées, il devient facile de vérifier si les angles sont congruents ou si l'un est plus grand que l'autre.

Quelle que soit la méthode employée, la comparaison des angles permet de déterminer avec précision si deux angles possèdent la même amplitude ou si l'un est plus ouvert que l'autre.

Et ainsi de suite.