Angles à côtés parallèles : côtés correspondants et côtés opposés
Lorsque deux angles possèdent des côtés parallèles, il est possible de comparer leurs côtés en distinguant deux situations particulières :
- Les côtés correspondants
Ce sont les côtés situés du même côté de la droite reliant les sommets des deux angles. - Les côtés opposés
Ce sont les côtés situés de part et d'autre de cette même droite.
Un résultat important découle de cette distinction. Lorsque tous les côtés parallèles sont correspondants ou tous opposés, les deux angles sont congruents. En revanche, si certains côtés sont correspondants et d'autres opposés, les deux angles sont supplémentaires, c'est-à-dire que la somme de leurs mesures est égale à 180°.
Comment reconnaître les côtés correspondants et les côtés opposés ?
Considérons deux angles dont les côtés sont parallèles.
Traçons une droite r passant par les sommets A et B des deux angles.
Cette droite sert de référence pour comparer la position des côtés parallèles.
Lorsque deux côtés parallèles se trouvent du même côté de la droite r, qu'ils soient tous les deux à gauche ou tous les deux à droite, on parle de côtés correspondants.
Dans la figure suivante, les côtés a et d sont des côtés parallèles correspondants.
À l'inverse, lorsque deux côtés parallèles sont situés de part et d'autre de la droite r, ils sont appelés côtés opposés.
Dans cet exemple, les côtés b et c sont des côtés parallèles opposés.
Propriétés des angles à côtés parallèles
La position des côtés parallèles permet de déterminer immédiatement la relation entre les deux angles.
- Si tous les côtés parallèles sont correspondants ou tous opposés, les angles sont congruents.
Démonstration (cas des côtés correspondants). Considérons deux angles dont les côtés vérifient a||c et b||d. Les angles β et γ sont des angles correspondants formés par les droites parallèles b et d coupées par la droite c. D'après le théorème des droites parallèles, ils sont congruents : β≅γ. De même, les angles α et γ sont des angles correspondants formés par les droites parallèles a et c coupées par la droite b. On obtient donc également α≅γ. Par transitivité, puisque α≅γ et β≅γ, les angles α et β sont congruents : α≅β.
Démonstration (cas des côtés opposés). Supposons maintenant que les côtés vérifient a||d et b||c. Les angles β et γ sont alors des angles alternes-internes formés par les droites parallèles a et d coupées par la droite c. D'après le théorème des droites parallèles, ils sont congruents : β≅γ. Les angles α et γ sont quant à eux des angles correspondants formés par les droites parallèles c et b coupées par la droite a. Ils sont donc également congruents : α≅γ. Par transitivité, on obtient finalement α≅β.
- Si deux côtés sont correspondants et les deux autres opposés, les angles sont supplémentaires.
Démonstration. Considérons deux angles tels que a||c et b||d, avec une paire de côtés opposés et une paire de côtés correspondants. Les angles β et γ sont des angles intérieurs du même côté de la sécante formés par les droites parallèles b et d coupées par la droite c. D'après le théorème des droites parallèles, ils sont supplémentaires : β+γ=180°. Les angles α et γ sont par ailleurs des angles correspondants formés par les droites parallèles a et c coupées par la droite b. Ils sont donc congruents : α≅γ. En remplaçant γ par l'angle congruent α, on obtient : α+β=180°. Les angles α et β sont donc supplémentaires.
À retenir
Pour déterminer rapidement la relation entre deux angles à côtés parallèles, il suffit d'observer la position relative de leurs côtés :
- tous les côtés parallèles sont correspondants → les angles sont congruents ;
- tous les côtés parallèles sont opposés → les angles sont congruents ;
- deux côtés sont correspondants et deux sont opposés → les angles sont supplémentaires.
Cette propriété est particulièrement utile dans l'étude des configurations géométriques faisant intervenir des droites parallèles et des angles associés.
