Le cercle trigonométrique
Qu’est-ce que le cercle trigonométrique ?
Le cercle trigonométrique est un cercle particulier dont le rayon est égal à un (r = 1). Il est muni d’un point de référence A, appelé origine des arcs, et orienté dans le sens trigonométrique, c’est-à-dire dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, considéré par convention comme le sens positif.
Le point A a pour coordonnées (x ; y) = (1 ; 0).
Le cercle trigonométrique est l’un des outils fondamentaux de la trigonométrie. Il permet de définir, représenter et mesurer les angles de manière simple et rigoureuse.
Si l’on choisit un point quelconque P sur le cercle, on obtient un angle de sommet O, délimité par les demi-droites OA et OP.
Cet angle est un angle orienté, car son signe dépend du sens dans lequel il est parcouru.
- Un angle est positif lorsqu’il est mesuré dans le sens trigonométrique.
- Un angle est négatif lorsqu’il est mesuré dans le sens horaire.
Remarque : Le centre du cercle coïncide avec l’origine O du repère cartésien, c’est-à-dire le point (0, 0). L’axe des abscisses positives sert de côté initial aux angles orientés. C’est pourquoi le point A, qui représente l’origine des arcs, se trouve au point (1, 0).
Comme le rayon vaut un (r = 1), l’équation du cercle trigonométrique est : $$ x^2 + y^2 = 1 $$
Comment mesure-t-on l’amplitude d’un angle ?
En trigonométrie, les angles sont généralement exprimés en radians (rad), sauf indication contraire.
La mesure d’un angle en radians est définie comme le quotient entre la longueur de l’arc AP et la longueur du rayon OA :
$$ \alpha = \frac{\overline{AP}}{\overline{OA}} \ rad $$
Autrement dit, un radian correspond à un angle qui intercepte un arc dont la longueur est exactement égale au rayon du cercle.
Dans cette situation particulière, AP = OA. On obtient donc :
$$ \text{si} \ \overline{AP} = \ \overline{OA} \ \Rightarrow \ \frac{\overline{AP}}{\overline{OA}} = 1 \ rad $$
Le radian (rad) est l’unité de mesure des angles adoptée par le Système international d’unités (SI).
Remarque : Les angles peuvent également être exprimés en degrés. Toutefois, en mathématiques et dans les sciences, les radians sont généralement privilégiés. Lorsqu’un angle doit être exprimé en degrés sexagésimaux ou en degrés décimaux, cela est normalement précisé dans l’énoncé.
Pourquoi mesurer les arcs en radians ?
L’un des principaux intérêts du radian apparaît dans le calcul de la longueur d’un arc de cercle.
Lorsque l’angle est exprimé en radians, la longueur de l’arc se calcule à l’aide de la formule :
$$ l = \alpha \cdot r $$
où l désigne la longueur de l’arc, α la mesure de l’angle en radians et r le rayon du cercle.
Dans le cercle trigonométrique, le rayon vaut un (r = 1). La formule devient alors :
$$ l = \alpha \cdot 1 $$
c’est-à-dire :
$$ l = \alpha $$
Dans le cercle trigonométrique, la longueur de l’arc et la mesure de l’angle en radians ont donc exactement la même valeur numérique.
Cette propriété simplifie de nombreux calculs et explique pourquoi les radians occupent une place centrale en trigonométrie, en analyse mathématique et en physique.
Et ainsi de suite.
