Angles Opposés par le Sommet
Les angles opposés par le sommet sont deux angles formés par l'intersection de deux droites. Ils partagent le même sommet et leurs côtés sont dans le prolongement l'un de l'autre.
Lorsque deux droites se coupent, elles créent automatiquement deux paires d'angles opposés par le sommet. Ces angles possèdent une propriété importante en géométrie : ils ont toujours la même mesure.
Comment Reconnaître des Angles Opposés par le Sommet ?
Pour identifier des angles opposés par le sommet, il suffit d'observer deux droites sécantes.
Le point d'intersection constitue le sommet commun des angles.
Les angles situés face à face sont appelés angles opposés par le sommet.
Dans cette figure, les angles alpha et bêta sont opposés par le sommet.
La Propriété Fondamentale
Deux angles opposés par le sommet sont toujours congruents, c'est-à-dire qu'ils ont exactement la même mesure.
Démonstration. Considérons deux angles opposés par le sommet, alpha et bêta, ainsi qu'un troisième angle gamma.
Les angles alpha et gamma sont adjacents et forment un angle plat. Leur somme est donc égale à 180° : $$ \alpha + \gamma = 180° $$ De la même manière, les angles bêta et gamma sont également adjacents. On a donc : $$ \beta + \gamma = 180° $$ En isolant alpha et bêta dans les deux équations précédentes, on obtient : $$ \alpha = 180° - \gamma $$ $$ \beta = 180° - \gamma $$ Par conséquent : $$ \alpha = \beta $$ Les angles opposés par le sommet sont donc toujours congruents.
Les Angles Extérieurs d'un Polygone
Dans un polygone, deux angles extérieurs situés au même sommet sont eux aussi opposés par le sommet. Ils sont donc congruents.
Si l'on note ces angles βe et β'e, on obtient : βe≅β'e.
Chacun de ces angles extérieurs est supplémentaire de l'angle intérieur correspondant (β). Autrement dit :
$$ \beta_e + \beta = 180° $$
$$ \beta'_e + \beta = 180° $$
Pour cette raison, on parle souvent simplement d'« angle extérieur », sans distinguer les deux angles opposés.
Ce type de relation apparaît fréquemment dans l'étude des polygones, des triangles et des démonstrations géométriques.
