Angles extérieurs d’un polygone

Les angles extérieurs d'un polygone sont formés par un côté du polygone et le prolongement du côté adjacent.

Pour mieux comprendre cette notion, prenons l'exemple du triangle ABC.

Le triangle possède trois angles intérieurs : α, β et γ.

Si l'on parcourt le triangle dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, on obtient les angles extérieurs suivants :

• L'angle α₁ est formé par le prolongement du côté AC et le côté AB.
• L'angle α₂ est formé par le côté AC et le prolongement du côté AB.
• L'angle β₁ est formé par le côté AB et le prolongement du côté BC.
• L'angle β₂ est formé par le prolongement du côté AB et le côté BC.
• L'angle γ₁ est formé par le prolongement du côté BC et le côté AC.
• L'angle γ₂ est formé par le côté BC et le prolongement du côté AC.

Chaque angle intérieur possède deux angles extérieurs adjacents. Ainsi, l'angle intérieur β est associé à deux angles extérieurs adjacents : β_e et β_e'.

Principales propriétés des angles extérieurs

Les angles extérieurs possèdent plusieurs propriétés fondamentales en géométrie. Elles permettent notamment d'étudier les polygones et les triangles de manière plus simple.

• La somme des angles extérieurs
  Dans tout polygone convexe, la somme des angles extérieurs pris dans un même sens est toujours égale à 360°, quel que soit le nombre de côtés.

  Exemple : Un carré possède quatre côtés et quatre angles intérieurs de 90°. Même s'il est possible de définir deux angles extérieurs adjacents à chaque sommet, on ne retient qu'un seul angle extérieur par sommet. La somme des quatre angles extérieurs est donc égale à 360°.
  

• Le théorème de l'angle extérieur
  Dans un triangle, un angle extérieur est toujours plus grand que chacun des angles intérieurs non adjacents.

  Exemple : Dans le triangle ABC, l'angle extérieur β_e est plus grand que les angles α et γ, qui ne lui sont pas adjacents.
  
  L'angle intérieur β n'est pas pris en compte, car il est adjacent à l'angle extérieur β_e.

• Relation entre angle intérieur et angle extérieur
  Dans tout polygone, la somme d'un angle intérieur et de l'angle extérieur adjacent correspondant est toujours égale à 180°. Ces deux angles forment donc un angle plat.

  Exemple : Dans le triangle ABC, la somme de l'angle intérieur β et de l'angle extérieur β_e est égale à 180°.
  

Ces propriétés s'appliquent de manière analogue à tous les polygones.