Angle orienté

Qu'est-ce qu'un angle orienté ?

Un angle orienté est un angle défini à la fois par deux côtés et par un sens de rotation.

Dans un angle orienté, l'ordre des côtés est essentiel. Le premier côté est appelé côté initial, tandis que le côté atteint après la rotation est appelé côté final.

Par convention, un angle est positif lorsque la rotation s'effectue dans le sens trigonométrique, et négatif lorsqu'elle s'effectue dans le sens horaire.

Le côté initial d'origine correspond généralement à l'axe positif des abscisses dans le plan cartésien.

Remarque : Pour représenter un angle α inférieur à un tour complet ainsi que tous les les angles obtenus en ajoutant un nombre entier de tours complets, on utilise la notation suivante en degrés : $$ \alpha + k \cdot 360° \ \ \ avec \ k \in \mathbb{Z} $$ ou, en radians : $$ \alpha + k \cdot 2 \pi \ \ \ avec \ k \in \mathbb{Z} $$ Par exemple, pour écrire l'angle α = 800°, on prend k = 2 : $$ \alpha = 80° + 360 \cdot 2 $$

Exemple d'angle orienté

Considérons l'angle orienté suivant :

$$ a \hat{O} b $$

Le côté initial est le côté « a », tandis que le côté final est le côté « b ». Le sommet de l'angle est le point O.

Quelle est la mesure de cet angle orienté ?

Comme il s'agit d'un angle orienté, sa mesure ne peut pas être déterminée tant que le sens de rotation n'a pas été précisé.

Deux interprétations sont possibles.

Si l'angle est mesuré dans le sens trigonométrique, sa mesure est de 60°.

En revanche, si la mesure est effectuée dans le sens horaire, l'angle mesure 300°.

Dans les deux cas, le côté « a » reste le côté initial, mais la mesure de l'angle change complètement.

La valeur d'un angle orienté dépend donc entièrement du sens de rotation choisi.

Remarque : Afin d'éviter toute ambiguïté, lorsque le sens de rotation n'est pas précisé, on adopte par convention le sens trigonométrique. Dans cet exemple, l'angle orienté est donc considéré comme égal à 60°.

Angles positifs et angles négatifs

Le signe d'un angle orienté dépend du mouvement du segment OA et du sens choisi comme référence.

• Référence trigonométrique
  Lorsque le sens trigonométrique est choisi comme référence, l'angle est positif si la rotation suit ce même sens, et négatif si elle s'effectue dans le sens horaire.
  

  Remarque : Ici, la rotation du segment de OA vers OA' suit le sens de référence ; l'angle est donc positif. À l'inverse, la rotation de OA vers OA" s'effectue dans le sens opposé ; l'angle est alors négatif.

• Référence horaire
  Lorsque le sens horaire est choisi comme référence, l'angle est positif si la rotation suit ce sens, et négatif si elle s'effectue dans le sens trigonométrique.
  

  Remarque : Dans ce cas, la rotation du segment de OA vers OA" suit le sens de référence ; l'angle est donc positif. En revanche, la rotation de OA vers OA' s'effectue dans le sens opposé ; l'angle devient alors négatif.

Que se passe-t-il lorsqu'aucun sens de rotation n'est défini ?

En mathématiques et en physique, lorsqu'aucune convention n'est précisée, on adopte automatiquement le sens trigonométrique, en prenant l'axe positif des abscisses comme côté initial.

Dans ce cas, un angle orienté est positif si la rotation s'effectue dans le sens trigonométrique, et négatif si elle s'effectue dans le sens horaire.

À quoi servent les angles orientés ?

Dans de nombreuses situations, connaître uniquement la mesure d'un angle ne suffit pas.

Par exemple, imaginons qu'il faille tourner un volant de 30°. Cette indication seule est insuffisante : faut-il tourner vers la droite ou vers la gauche ?

 

Pour interpréter correctement l'information, il faut d'abord définir un sens de référence.

Supposons que l'on adopte le sens trigonométrique.

On peut alors déterminer précisément la direction de la rotation.

Comme l'angle de 30° est positif, cela signifie que la rotation s'effectue dans le même sens que la référence choisie.

Il faut donc tourner le volant dans le sens trigonométrique, c'est-à-dire vers la gauche.

Si l'angle orienté avait été égal à -30°, il aurait fallu tourner le volant vers la droite, car la rotation aurait été opposée au sens de référence.

Principales caractéristiques des angles orientés

Les angles orientés possèdent plusieurs propriétés importantes.

• Un angle orienté peut être négatif
  Un angle est négatif lorsque la rotation s'effectue dans le sens opposé à celui choisi comme référence. Par exemple, un angle de -20°.
  
• Un angle orienté peut dépasser un tour complet
  Un angle orienté peut être supérieur à 360° (ou 2π radians).
  Par exemple, un angle de 730° signifie qu'il faut effectuer deux tours complets dans le sens de référence, puis ajouter encore 10°.
  
  D'un point de vue algébrique : $$ 730° = 360° \cdot 2 + 10° $$ $$ 730° = 720° + 10° $$

Notation simplifiée des angles orientés

Un angle orienté supérieur à 360° peut être écrit sous une forme simplifiée comme la somme d'un angle inférieur à 360° et d'un nombre entier de tours complets : $$ \alpha° + 360° \cdot k $$ Lorsque l'angle est exprimé en radians, on utilise la notation : $$ \alpha + 2 \pi \cdot k $$ Dans les deux cas, k désigne un entier relatif.

Lorsque la valeur de k n'est pas précisée, cette écriture représente tous les angles orientés qui diffèrent d'un multiple entier d'un tour complet.

Le nombre k peut être positif ou négatif.

Exemple 1

Un angle orienté de 730° peut s'écrire :

$$ 730° = 360° \cdot 2 + 10° $$

avec k = 2.

Exemple 2

Lorsque la valeur de k n'est pas précisée :

$$ \frac{ \pi }{ 2 } + k \cdot 2 \pi $$

cette notation représente tous les angles de 90° (ou π/2) qui diffèrent d'un multiple entier d'un tour complet (2π) :

$$ \frac{ \pi }{ 2 } + k \cdot 2 \pi = \{ \frac{ \pi }{ 2 }, \ \frac{ \pi }{ 2 } \pm 2 \pi, \ \frac{ \pi }{ 2 } \pm 4 \pi, \ \ldots \} $$

La figure suivante représente graphiquement π/2 (en bleu) et π/2 + 2π (en rouge).

Dans le premier cas, k = 0 ; dans le second, k = 1.

Et ainsi de suite.