Radian
Dans un cercle trigonométrique, le radian est l’angle au centre qui intercepte un arc dont la longueur est exactement égale à celle du rayon.
Autrement dit, lorsque la longueur de l’arc est égale au rayon, l’angle mesure 1 radian. Dans le système sexagésimal, cela correspond à environ 57,3°.
Le radian est l’unité de référence pour mesurer les angles en mathématiques, en particulier en trigonométrie et en analyse. En pratique, sauf indication contraire, les angles sont supposés être exprimés en radians.
On le note généralement « rad ».
Remarque : Il existe d’autres unités pour mesurer les angles, comme le degré. Toutefois, en mathématiques, le radian est privilégié car il simplifie les formules et les calculs.
Démonstration
Considérons un même angle α inscrit dans deux cercles de rayons différents, r et r'.
Si l’on mesurait cet angle à partir de la longueur de l’arc intercepté, on obtiendrait des valeurs différentes selon le cercle choisi.
Pour un même angle, le second cercle détermine en effet un arc plus long (k'>k) que le premier.
On utilise la proportionnalité entre les angles et les longueurs d’arc :
$$ k : \alpha = 2 \pi r : 360° $$
$$ k' : \alpha = 2 \pi r' : 360° $$
On en déduit :
$$ \frac{k}{\alpha} = \frac{2 \pi r}{360°} $$
$$ \frac{k'}{\alpha} = \frac{2 \pi r'}{360°} $$
En isolant les longueurs d’arc :
$$ k = \frac{2 \pi r \cdot \alpha}{360°} $$
$$ k' = \frac{2 \pi r' \cdot \alpha}{360°} $$
En simplifiant :
$$ k = \frac{\pi r \alpha}{180°} $$
$$ k' = \frac{\pi r' \alpha}{180°} $$
En divisant ces deux expressions :
$$ \frac{k}{k'} = \frac{\frac{\pi r \alpha}{180°}}{\frac{\pi r' \alpha}{180°}} $$
$$ \frac{k}{k'} = \frac{\pi r \alpha}{180°} \cdot \frac{180°}{\pi r' \alpha} $$
$$ \frac{k}{k'} = \frac{r}{r'} $$
On obtient alors :
$$ \frac{k}{r} = \frac{k'}{r'} $$
Le rapport entre la longueur de l’arc et le rayon est donc le même dans tous les cercles :
$$ k : r = k' : r' $$
Autrement dit, le quotient k/r ne dépend pas du rayon du cercle.
Ce résultat est fondamental. Il montre que k/r fournit une mesure universelle de l’angle, indépendante de la taille du cercle.
$$ \alpha = \frac{k}{r} $$
Ce rapport k/r est précisément ce que l’on appelle le radian (rad). Il vaut 1 lorsque la longueur de l’arc k est égale au rayon r.
Mesures usuelles des angles en radians et en degrés
Voici quelques valeurs courantes à connaître :
| Degrés | Radians |
|---|---|
| 0° | 0 |
| 15° | π/12 |
| 30° | π/6 |
| 45° | π/4 |
| 60° | π/3 |
| 90° | π/2 |
| 120° | 2/3 π |
| 135° | 3/4 π |
| 150° | 5/6 π |
| 180° | π |
| 270° | 3/2 π |
| 360° | 2 π |
Comment les mémoriser ? Une méthode simple consiste à partir de la valeur suivante : $$ 15° = \frac{\pi}{12} \ rad $$ Ensuite, il suffit de multiplier : $$ 30° = 2 \cdot 15° = \frac{\pi}{6} \ rad $$ $$ 45° = 3 \cdot 15° = \frac{\pi}{4} \ rad $$ $$ 60° = 4 \cdot 15° = \frac{\pi}{3} \ rad $$ $$ 90° = 6 \cdot 15° = \frac{\pi}{2} \ rad $$ Pour des conversions plus générales, retenez que : $$ 1° = \frac{\pi}{180} \ rad $$
Pourquoi un tour complet mesure-t-il 2π radians ?
Considérons un cercle complet, soit un angle de 360°.
La longueur d’un cercle est donnée par :
$$ k = 2 \pi r $$
La mesure de l’angle en radians est définie par :
$$ \alpha = \frac{k}{r} \ rad $$
En remplaçant k :
$$ \alpha = \frac{2 \pi r}{r} \ rad $$
On obtient immédiatement :
$$ \alpha = 2 \pi \ rad $$
Numériquement, avec π ≈ 3,14 :
$$ \alpha \approx 6,28 \ rad $$
Un tour complet correspond donc à 2π radians, soit environ 6,28 radians.
Remarque : Si 360° correspondent à 2π radians, alors 180° correspondent à π radians, et 90° à π/2 radians. Ces équivalences permettent de passer rapidement d’un système à l’autre.
Et ainsi de suite.
