Angles
Un angle est une portion du plan délimitée par deux demi-droites ayant une même origine.
Ces demi-droites sont appelées les côtés de l'angle, et leur point commun est le sommet.
La mesure d'un angle correspond à l'ouverture formée par ses deux côtés. Elle s'exprime en degrés dans le système sexagésimal, ou en radians.
On note généralement un angle à l'aide d'une lettre grecque minuscule, comme α, β ou γ.
Une autre notation courante est aÔb, où « a » et « b » désignent les côtés, et « Ô » le sommet.
Les points situés entre les côtés de l'angle, sans appartenir aux demi-droites, sont appelés points intérieurs. Tous les autres points sont dits extérieurs.
Mesure des angles
Attribuer une mesure à un angle consiste à lui associer une valeur numérique selon un système de référence.
Les deux systèmes les plus utilisés sont :
- La mesure en degrés
La circonférence est divisée en 360 parties égales appelées degrés. - La mesure en radians
Un radian correspond à l'angle au centre interceptant un arc de longueur égale au rayon. Un tour complet vaut 2π radians, soit environ 6,28 radians.
Grâce à la mesure, on peut regrouper les angles en classes d'équivalence.
Deux angles sont dits congruents s'ils ont la même mesure.
Ils appartiennent alors à une même classe d'angles.
Remarque : Des angles congruents peuvent être situés en des positions différentes et avoir des orientations distinctes. Seule leur mesure intervient.
Pour comparer deux angles, on les superpose à l'aide d'un mouvement rigide. Si leurs côtés coïncident, ils sont congruents $ \alpha \cong \beta $.
La longueur des côtés n'a aucune influence sur la mesure, qui dépend uniquement de l'ouverture.
Types d'angles
On distingue plusieurs types d'angles selon leur géométrie.
- Angles concaves
Un angle est concave s'il contient les prolongements de ses côtés.
- Angles convexes
Un angle est convexe s'il ne contient pas les prolongements de ses côtés.
- Angle droit
Il est formé par deux droites perpendiculaires et mesure 90° (π/2 radians).
Remarque : Deux angles sont congruents s'ils ont la même mesure.
- Angle plein
Les deux côtés coïncident et l'angle couvre l'ensemble du plan. Sa mesure est de 360° (2π radians).
Remarque : Les côtés sont alors des demi-droites confondues.
- Angle nul
Les côtés coïncident sans ouverture. Sa mesure est de 0° (0 radian).
Angles orientés
Par convention, un angle est positif lorsque la rotation se fait dans le sens trigonométrique, c'est-à-dire dans le sens antihoraire.
Le côté initial correspond à l'axe des abscisses positif.
Dans le sens inverse, la rotation définit un angle négatif.
Cette convention est utilisée en mathématiques comme en physique.
Angles adjacents et consécutifs
Ces deux notions décrivent la position relative de deux angles.
- Angles consécutifs
Ils partagent un sommet et un côté.
- Angles adjacents
Ils partagent un sommet et un côté, et leurs autres côtés sont alignés sur une même droite.
Remarque : Les angles adjacents sont un cas particulier d'angles consécutifs. Leur somme vaut 180°, ce qui correspond à un angle plat.
Angles concaves et convexes
Les angles peuvent aussi être classés selon leur forme globale.
- Angles concaves
Ils incluent les prolongements de leurs côtés, sauf dans le cas de l'angle plein.
On peut aussi les reconnaître en choisissant deux points intérieurs P et Q : si le segment qui les relie sort de l'angle, alors celui-ci est concave.
Remarque : Un angle plein n'est pas concave, car tout segment reliant deux points intérieurs reste contenu dans l'angle.
- Angles convexes
Ils ne contiennent pas les prolongements de leurs côtés.
Dans ce cas, tout segment reliant deux points intérieurs reste entièrement à l'intérieur de l'angle.
Tous les angles compris entre 0 et 180° sont convexes.
Remarque : Un angle plat (180°) est convexe, car ses côtés ne contiennent pas de points intérieurs.
Et ainsi de suite
