Somme et Différence d’Angles Congruents

Lorsque l’on additionne ou que l’on soustrait des paires d’angles congruents placés dans des positions correspondantes, les angles obtenus restent eux aussi congruents.

Autrement dit, si deux angles ont la même mesure, toute opération effectuée de la même manière sur chacun d’eux conserve cette égalité.

Considérons par exemple deux paires d’angles congruents :

$$ \alpha \cong \beta $$

$$ \gamma \cong \delta $$

Dans ce cas, la somme des angles correspondants est également congruente :

$$ \alpha + \gamma \cong \beta + \delta $$

La même propriété vaut pour la différence :

$$ |\alpha - \gamma| \cong |\beta - \delta| $$

Cette propriété est une conséquence directe de la définition même de la congruence. Deux angles congruents ayant la même mesure, les résultats obtenus après addition ou soustraction restent nécessairement égaux.

Remarque. Deux angles sont dits congruents lorsqu’ils ont exactement la même mesure. Ils peuvent être situés à des endroits différents du plan tout en restant superposables.

Exemple

Supposons que nous ayons les deux paires d’angles congruents suivantes :

$$ \alpha \cong \beta = 45° $$

$$ \gamma \cong \delta = 30° $$

Calculons d’abord la somme des angles :

$$ \alpha + \gamma = 45° + 30° = 75° $$

$$ \beta + \delta = 45° + 30° = 75° $$

Les deux sommes ont donc la même mesure. Les angles obtenus sont par conséquent congruents.

Effectuons maintenant la différence :

$$ \alpha - \gamma = 45° - 30° = 15° $$

$$ \beta - \delta = 45° - 30° = 15° $$

Là encore, les deux résultats sont identiques. Les angles obtenus restent donc congruents.

Ainsi, lorsqu’on additionne ou que l’on soustrait des angles de même mesure, la congruence est conservée.

Remarque. Cette propriété est très utilisée en géométrie, notamment dans les démonstrations, les constructions géométriques et l’étude des transformations du plan. Elle permet également de manipuler les angles de manière algébrique en travaillant directement sur leurs mesures.

Démonstration

Considérons à nouveau deux paires d’angles congruents :

$$ \alpha \cong \beta $$

$$ \gamma \cong \delta $$

Étudions les deux sommes suivantes :

$$ \alpha + \gamma $$

$$ \beta + \delta $$

Puisque $ \gamma \cong \delta $, les deux angles ont la même mesure. Nous pouvons donc remplacer $ \gamma $ par $ \delta $ :

$$ \alpha + \gamma = \alpha + \delta $$

Or, comme $ \alpha \cong \beta $, nous pouvons également remplacer $ \alpha $ par $ \beta $ :

$$ \alpha + \gamma = \alpha + \delta = \beta + \delta $$

Les deux sommes ont donc la même mesure :

$$ \alpha + \gamma \cong \beta + \delta $$

Les angles obtenus sont donc congruents.

Remarque. Le même raisonnement s’applique à la différence : $$ \alpha - \gamma $$ $$ \beta - \delta $$ Puisque $ \gamma \cong \delta $, nous pouvons écrire : $$ \alpha - \gamma = \alpha - \delta $$ Et comme $ \alpha \cong \beta $, nous obtenons : $$ \alpha - \gamma = \alpha - \delta = \beta - \delta $$ Les deux différences ont donc elles aussi la même mesure : $$ \alpha - \gamma \cong \beta - \delta $$

On démontre ainsi que la somme ou la différence d’angles congruents produit toujours des angles congruents.

Et ainsi de suite.